Redes de flujo

Traducido por: José Mario Guevara Retana (El Salvador), Julio Ernesto Payes Hernández (El Salvador), José Roberto Duarte Saldaña (El Salvador), Marcia Lizeth Barrera de Calderón (El Salvador)
Revisado por: Saul Guevara (Colombia)
Editado por: Mauricio Eduardo Flores (USA)

5.1 Redes de flujo por construcción gráfica

Hemos visto en el Capítulo 2 que un sistema de flujo de agua subterránea puede ser representado por un conjunto tridimensional de superficies equipotenciales y un conjunto correspondiente de líneas de flujo ortogonales. Si se puede elegir una sección transversal bidimensional significativa a través del sistema tridimensional, el conjunto de líneas equipotenciales y líneas de flujo expuestas constituye una red de flujo. La construcción de redes de flujo es una de las herramientas analíticas más poderosas para el análisis del flujo de aguas subterráneas.

En la Sección 2.11 y la Figura 2.25, vimos que una red de flujo puede ser vista como la solución a un problema bidimensional de condiciones de frontera y de estado estacionario. La solución requiere conocer la región de flujo, las condiciones de frontera en los límites de la región, y la distribución espacial de la conductividad hidráulica dentro de la región. En el Apéndice III se presenta un método matemático analítico de solución. En esta sección, aprenderemos que las redes de flujo también pueden ser construidas gráficamente, sin recurrir a las sofisticadas matemáticas.

Sistemas homogéneos, isotrópicos

Consideremos primero una región de flujo que es homogénea, isotrópica, y totalmente saturada. Para el flujo en estado estacionario en una región de este tipo, pueden existir tres tipos de límites: (1) límites impermeables, (2) límites de carga hidráulica constantes, y (3) límites del nivel freático. Primero, consideremos el flujo en la vecindad de un límite impermeable [Figura 5.1 (a)]. Puesto que no puede haber flujo a través del límite, las líneas de flujo adyacentes al límite deben ser paralelas a él, y las líneas equipotenciales deben encontrarse con el límite en ángulos rectos. Invocando la ley de Darcy y estableciendo el caudal específico a través de la frontera igual a cero, nos llevan a la declaración matemática de la condición de frontera. Para los límites que son paralelos a los ejes en un plano xz:

$\frac{\partial h}{\partial x} = 0 \hspace{1cm} \text{o también} \hspace{1cm} \frac{\partial h}{\partial z} = 0$ (5.1)

**Figura 5.1** El flujo del agua subterránea en la vecindad de (a) un límite impermeable, (b) un límite de la carga hidráulica constante, y (c) un límite de nivel freático.

En efecto, cualquier línea de flujo en una red de flujo constituye un límite impermeable imaginario, en que no hay flujo a través de una línea de flujo. En la construcción de una red de flujo, a menudo es deseable reducir el tamaño de la región de flujo considerando solamente aquellas partes de la región en un lado u otro de alguna línea de simetría. Si está claro que la línea de simetría es también una línea de flujo, la condición límite que se impone en el límite de simetría es la de la ecuación (5.1).

Un límite en el cual la carga hidráulica es constante [Figura 5.1 (b)] es una línea equipotencial. Las líneas de flujo deben encontrarse con el límite en ángulo recto, y las líneas equipotenciales adyacentes deben ser paralelas al límite. La condición matemática es

$h = c$ (5.2)

En el nivel freático, la carga de presión, ψ, es igual a cero, y de la relación simple de carga, h = ψ + z, se obtiene

h = z (5.3)

para la condición de contorno. Como se muestra en la Figura 5.1 (c), para un caso de recarga, la capa freática no es ni una línea de flujo ni una línea equipotencial. Es simplemente una línea de h variable, pero conocida.

Si conocemos la conductividad hidráulica K del material en una región homogénea e isotrópica de flujo, es posible calcular el caudal a través del sistema a partir de una red de flujo. La Figura 5.2 es una red de flujo completa para el caso simple presentado por primera vez en la Figura 2.25 (a). El área entre dos líneas de flujo adyacentes se conoce como tubo de corriente o tubo de flujo. Si las líneas de flujo están espaciadas equitativamente, el caudal a través de cada tubo de corriente es el mismo. Considere el flujo a través de la región ABCD en la Figura 5.2. Si las distancias AB y BC son ds y dm, respectivamente, y si la caída de la carga hidráulica entre AD y BC es dh, el caudal que cruza esta región, a través de un área de profundidad unitaria perpendicular a la página, es

$dQ = K\frac{dh}{ds}dm$ (5.4)

**Figura 5.2** Red de flujo cuantitativo para un sistema de flujo muy simple.

En condiciones de estado estacionario, el caudal a través de cualquier plano de profundidad unitaria (por ejemplo, AD, EH o FG) dentro del tubo de corriente también debe ser dQ. En otras palabras, el caudal a través de cualquier parte de un tubo de corriente se puede calcular a partir de una consideración del flujo en un solo elemento del mismo.

Si decidimos arbitrariamente construir la red de flujo en cuadrados, con ds = dm, entonces la Ec. (5.4) se convierte en

$dQ = K dh$ (5.5)

Para un sistema con m tubos de corriente, el caudal total es

$Q = mK dh$ (5.6)

Si la caída total de la carga en la región de flujo es H y hay n divisiones de carga en la red de flujo (H = n dh), entonces

$Q = \frac{mKH}{n}$ (5.7)

Para la Figura 5.2, m = 3, n = 6, H = 60 m, y de la Ec. (5,7), Q = 30 K. Para K = 10^-4 m/s, Q = 3 × 10^-3 m³/s (por cada metro de sección perpendicular a la red de flujo).

La ecuación (5.7) debe ser usada con cuidado. Sólo es aplicable a sistemas de flujo simples, con un borde de recarga y un borde de caudal. Para sistemas más complicados, es mejor simplemente calcular dQ para un tubo de corriente y multiplicar por el número de tubos de corriente para obtener Q.

La Figura 5.3 es una red de flujo que muestra la filtración debajo de una presa a través de una roca de fundación limitada en profundidad por un límite impermeable. Puede ser utilizada para mostrar tres puntos adicionales sobre la construcción de una red de flujo.

**Figura 5.3** Filtraciones debajo de una presa a través de rocas homogéneas, isotrópicas de la fundación.

Los “cuadrados” en todas las redes de flujo, excepto las más simples, son en realidad cuadrados curvilíneos; es decir, tienen dimensiones centrales iguales; o vistos de otra manera, encierran un círculo que es tangente a las cuatro líneas delimitadoras.
No es necesario que las redes de flujo tengan límites finitos en todos los lados; Las regiones de flujo que se extienden hasta el infinito en una o más direcciones, como la capa horizontalmente infinita de la Figura 5.3, son manejables.
Se puede construir una red de flujo con un tubo de flujo “parcial” en el borde.

Para la red de flujo mostrada en la Figura 5.3, $m = 3\frac{1}{2}$ . Si H = 100 m y K = 10^-4 m/s, entonces, dado que n = 6, tenemos Q = 5.8 × 10^-3 m³/s (por cada metro de sección perpendicular a la red de flujo).

En medios homogéneos e isotrópicos, la distribución de la carga hidráulica depende únicamente de la configuración de las condiciones de contorno. La naturaleza cualitativa de la red de flujo es independiente de la conductividad hidráulica del medio. La conductividad hidráulica entra en juego sólo cuando se realizan cálculos cuantitativos de caudal. También vale la pena señalar que las redes de flujo son adimensionales. Las redes de flujo de las figuras 5.2 y 5.3 son igualmente válidas si se considera que las regiones de flujo son de unos pocos metros cuadrados o de miles de metros cuadrados.

El dibujo de las redes de flujo es una especie de arte. Uno suele llevar a cabo la tarea sobre una base de prueba y error. Algunos hidrólogos se vuelven extremadamente talentosos para llegar rápidamente a redes de flujo aceptables. Para otros, es una fuente de frustración continua. Para una red de flujo en medios homogéneos isotrópicos, las reglas de la construcción gráfica son engañosamente simples. Podemos resumirlos de la siguiente manera: (1) las líneas de flujo y equipotenciales deben intersecarse en ángulos rectos en todo el sistema; (2) las líneas equipotenciales deben cumplir con los límites impermeables en ángulo recto; (3) las líneas equipotenciales deben ser paralelas a los límites de carga constante; y (4) si se dibuja la red de flujo de modo que se creen cuadrados en una porción del campo, entonces, con la posible excepción de los tubos de flujo parcial en el borde, deben existir cuadrados en todo el campo.

Sistemas heterogéneos y la Ley Tangente

Cuando las líneas de flujo del agua subterránea cruzan un límite geológico entre dos formaciones con diferentes valores de conductividad hidráulica, se refractan, al igual que la luz cuando pasa de un medio a otro. Sin embargo, en contraposición a la ley de Snell, que es una ley de seno, la refracción del agua subterránea obedece a una ley de tangente.

Consideremos el tubo de flujo que se muestra en la Figura 5.4. El flujo procede de un medio con conductividad hidráulica K₁ a un medio con conductividad hidráulica K₂, donde K₂ > K₁.

**Figura 5.4** Refracción de líneas de flujo en un límite geológico.

El tubo de flujo tiene una profundidad unitaria perpendicular a la página, y los ángulos y distancias son como se indica en la figura. Para un flujo constante (estacionario), la entrada Q₁ debe ser igual a la salida Q₂; o, de la ley de Darcy,

$K_1a\frac{dh_1}{dl_1} = K_2c\frac{dh_2}{dl_2}$ (5.8)

Donde dh₁ es la caída de la carga hidráulica a través de la distancia dl₁, ya que dl₂, es la caída de la carga hidráulica a través de la distancia dl₂. En las que dl₁ y dl₂ unen las mismas dos líneas equipotenciales, está claro que dh₁ = dh₂; y de consideraciones geométricas, a = b cos θ₁ y c = b cos θ₂. Observando que b/dl₁ = 1/sinθ₁, y b/dl₂ = 1/sinθ₂, La Ecuación (5.8) se convierte en

$K_1\frac{\cos \theta_1}{\sin \theta_1} = K_2\frac{\cos \theta_2}{\sin \theta_2}$ (5.9)

$\frac{K_1}{K_2} = \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$ (5.10)

La ecuación (5.10) constituye la ley de tangente para la refracción de las líneas de flujo del agua subterránea en un límite geológico en medios heterogéneos. Conociendo K₁, K₂ y θ₁, se puede resolver la Ecuación (5.10) para θ₂. La Figura 5.5 muestra las refracciones de la línea de flujo para dos casos con K₁/K₂ = 10. Las líneas de flujo, como si tuvieran una mente propia, prefieren usar formaciones de alta permeabilidad como conductos e intentan atravesar formaciones de baja permeabilidad por la ruta más corta. En los sistemas acuífero-acuitardo con contrastes de permeabilidad de 2 órdenes de magnitud o más, las líneas de flujo tienden a ser casi horizontales en los acuíferos y casi verticales en los acuitardos. Cuando se considera la amplia gama de valores de conductividad hidráulica expuesta en la Tabla 2.2, es evidente que los contrastes de 2 órdenes de magnitud y más no son nada excepcionales.

**Figura 5.5** Refracción de líneas de flujo en sistemas estratificados (según Hubbert, 1940).

Si se intenta dibujar las líneas equipotenciales para completar los sistemas de flujo en los diagramas de la Figura 5.5, pronto se verá que no es posible construir cuadrados en todas las formaciones. En sistemas heterogéneos, los cuadrados en una formación se convierten en rectángulos en otra.

Podemos resumir las reglas para la construcción de redes de flujo gráficas en sistemas isotrópicos heterogéneos como sigue: (1) las líneas de flujo y las líneas equipotenciales deben interceptarse en ángulos rectos en todo el sistema; (2) las líneas equipotenciales deben encontrarse con los límites impermeables en ángulo recto; (3) las líneas equipotenciales deben ser paralelas a los límites de carga constante; (4) la ley de tangente debe ser satisfecha en los límites geológicos; y (5) si se dibuja la red de flujo de forma que se creen cuadrados en una porción de una formación, los cuadrados deben existir a lo largo de esa formación y en todas las formaciones con la misma conductividad hidráulica. Los rectángulos se crearán en formaciones de conductividad diferente.

Las dos últimas reglas hacen que sea extremadamente difícil trazar redes de flujo cuantitativas precisas en sistemas heterogéneos complejos. Sin embargo, las redes de flujo cualitativas, en las que se conserva la ortogonalidad, pero no se intenta crear cuadrados, pueden ser de gran ayuda para comprender un sistema de flujo de agua subterránea. La Figura 5.6 es una red de flujo cualitativamente esbozada para el problema de filtración de presas presentado por primera vez en la Figura 5.3, pero con una roca de base que ahora está en capas.

**Figura 5.6** Infiltración debajo de una presa a través de rocas de fundación heterogéneas isotópicas.

Sistemas anisotrópicos y la sección transformada

En medios homogéneos pero anisotrópicos, la construcción de la red de flujo es complicada por el hecho de que las líneas de flujo y las líneas equipotenciales no son ortogonales. Maasland (1957), Bear y Dagan (1965) y Liakopoulos (1965b) proporcionan discusiones sobre los principios teóricos que subyacen a este fenómeno, y Bear (1972) presenta una extensa revisión teórica. En esta sección examinaremos principalmente la respuesta práctica que se ha ideado para eludir las condiciones de no-ortogonalidad. Implica la construcción de la red de flujo en la sección transformada.

Consideremos el flujo en una región de dos dimensiones en un medio anisotrópico homogéneo con las principales conductividades hidráulicas K_x y K_z. La elipse de conductividad hidráulica (Figura 5.7) tendrá semiejes y $\sqrt{K_x}$ y $\sqrt{K_z}$ .

**Figura 5.7** Elipse de conductividad hidráulica para un medio anisotrópico con *K_x*/*K_z* = 5. Los círculos representan dos posibles transformaciones isotrópicas.

Transformemos la escala de la región de flujo de manera que las coordenadas en la región transformada con coordenadas X y Z estén relacionadas con las del sistema xy original por

$X = x$
(5.11)

$Z = \frac{z\sqrt{K_x}}{\sqrt{K_z}}$

Para K_x > K_z, esta transformación ampliará la escala vertical de la región de flujo. También ampliará la elipse de conductividad hidráulica en un círculo de radio $\sqrt{K_x}$ (el círculo exterior en la Figura 5.7); y la región ficticia de flujo expandida actuará entonces como si fuera homogénea con la conductividad K_x.

La validez de esta transformación puede ser defendida sobre la base de la ecuación del estado estacionario del flujo. En el sistema de coordenadas xz original, para un medio anisotrópico, tenemos, de la Ec. (2.69),

$\frac{\partial}{\partial x}\left(K_x\frac{\partial h}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(K_z\fra\partial h}{\partial x}\right) = 0$
(5.12)

Dividiendo todo por de K_x, se obtiene

$\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{K_z}{K_x}\frac{\partial h}{\partial x}\right) = 0$
(5.13)

Para la sección transformada, tenemos de la segunda expresión de la ecuación (5.11),

$\frac{\partial}{\partial z} + \frac{\sqrt{K_x}}{\sqrt{K_z}}\frac{\partial}{\partial Z}$
(5.14)

Considerando la primera expresión de la ecuación (5.11), y aplicando la operación de la Ecuación (5.14) a las dos diferenciales de la ecuación (5.13), se obtiene

$\frac{\partial^2 h}{\partial X^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial Z^2} = 0$ (5.15)

que es la ecuación de flujo para un medio homogéneo isotrópico en la sección transformada.

Una transformación igualmente válida podría lograrse contrayendo la región en la dirección x de acuerdo con las relaciones

$X = \frac{x\sqrt{K_z}}{\sqrt{K_x}}$
(5.16)

$Z = z$

En este caso, la elipse de conductividad se transformará en el pequeño círculo de la Figura 5.7 y el medio ficticio y transformado actuará como si fuera homogéneo con una conductividad hidráulica KZ. Con el concepto de la sección transformada en mente, los pasos de la construcción de la red de flujo en un medio homogéneo e anisotrópico son evidentes: hay que (1) realizar una transformación de coordenadas usando la ecuación (5.11) o la Ecuación (5.16); (2) construir una red de flujo en la sección transformada ficticia, de acuerdo con las reglas para un medio homogéneo isotrópico; y (3) invertir la relación de escala.

**Figura 5.8 (a)** Problema de flujo en una región anisotrópica homogénea con $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} = 4$ . (b) Red de flujo en la sección isotrópica transformada. (c) Red de flujo en la sección anisotrópica real. T, transformación; I, la inversión.

**Figura 5.8 (a)** Problema de flujo en una región anisotrópica homogénea con $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} = 4$ . (b) Red de flujo en la sección isotrópica transformada. (c) Red de flujo en la sección anisotrópica real. T, transformación; I, la inversión.

La Figura 5.8 es un ejemplo de la técnica. El problema de condición de frontera que se ilustra en la Figura 5.8 (a) es una sección vertical que representa el flujo desde un estanque superficial con h = 100 hacia un drenaje en h = 0. El drenaje se considera uno de los muchos drenes paralelos establecidos a una profundidad similar e orientados perpendicularmente a la página. Los límites impermeables verticales son “imaginarios”; Son creados por la simetría del sistema de flujo total. El límite inferior es un límite real; representa la base del suelo superficial, que está sobre una formación de suelo o roca con una conductividad de varios órdenes de magnitud menor. Si el eje vertical se fija arbitrariamente con z = 100 en el drenaje y z = 100 en la superficie, entonces de h = ψ + z, y los valores h dados, tenemos ψ = 0 en ambos límites. En la superficie, esta condición implica que el suelo está saturado. El “estanque” es incipiente; tiene una profundidad de cero. En el drenaje, ψ = 0 implica condiciones de flujo libre. El suelo en el campo de flujo tiene una conductividad anisotrópica de K_x/K_z = 16. La sección transformada de la Figura 5.8 (b) tiene por lo tanto una expansión vertical de $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} = 4$ . La Figura 5.8 (c) muestra el resultado de la transformación inversa, en el que la red de flujo isotrópica homogénea de la sección transformada se retorna a una región de flujo en escala real. Bajo la inversión, la carga hidráulica en cualquier punto (X, Z) de la Figura 5.8 (b) se convierte en la carga hidráulica en el punto (x, z) de la Figura 5.8 (c).

El tamaño de la sección transformada depende obviamente de si se usan las ecuaciones (5.11) o las ecuaciones (5.16) para la transformación, pero la forma de la región y la red de flujo resultante son las mismas, en cualquier caso.

Si se requieren cantidades de caudal o velocidades de flujo, a menudo es más fácil hacer estos cálculos en la sección transformada. Entonces se plantea la cuestión de qué valor de conductividad hidráulica debe usarse para tales cálculos. Es evidente que sería incorrecto utilizar K_x, para una sección verticalmente expandida y K_z, para una horizontalmente contraída, como se podría deducir de la Figura 5.7, ya que esto produciría dos conjuntos diferentes de cálculos cuantitativos para las dos representaciones equivalentes del mismo problema. De hecho, el valor correcto a utilizar es

$K' = \sqrt{K_x \cdot K_z}$ (5.17)

La validez de la ecuación (5.17) se basa en la condición de que los flujos en cada una de las dos representaciones transformadas equivalentes de la región de flujo deben ser iguales. La prueba requiere una aplicación de la ley de Darcy a un solo tubo de flujo en cada una de las dos transformaciones.

La influencia de la anisotropía sobre la naturaleza de las redes de flujo de aguas subterráneas se ilustra en la Figura 5.9 para el mismo problema de valores límite que se analizó en la Figura 5.8. La característica más importante de las redes de flujo anisotrópico [Figura 5.9 (a) y 5.9 (c)] es su falta de ortogonalidad. Nos parece que las técnicas de transformación introducidas en esta sección proporcionan una explicación indirecta pero satisfactoria de este fenómeno.

**Figura 5.9** Redes de flujo para el problema de flujo de la Figura 5.8 (a) para $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} =$ (a) ¼, (b) 1, (c) 4 (según Maasland, 1957).

**Figura 5.9** Redes de flujo para el problema de flujo de la Figura 5.8 (a) para $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} =$ (a) ¼, (b) 1, (c) 4 (según Maasland, 1957).

Hay muchas situaciones donde uno desearía construir una red de flujo sobre la base de datos piezométricos de campo. Si se sabe que las formaciones geológicas son anisotrópicas, se debe tener mucho cuidado en la inferencia de las direcciones de flujo de los datos equipotenciales. Si se desea la red de flujo completa, una sección transformada es necesaria, pero si las direcciones de flujo en puntos específicos son todo lo que se requiere, hay una construcción gráfica que puede ser útil. En la Figura 5.10 la línea discontinua representa la tendencia direccional de una línea equipotencial en algún punto de interés dentro de un campo xz Entonces se construye una elipse de conductividad hidráulica inversa alrededor del punto. Esta elipse tiene semiejes principales $1/\sqrt{K_x}$ y $1/\sqrt{K_z}$ (en lugar de $\sqrt{K_x}$ y $\sqrt{K_z}$ , como en la Figura 5.7). Una línea dibujada en la dirección del gradiente hidráulico intersecta la elipse en el punto A. Si se traza una tangente es trazada a la elipse en A, la dirección del flujo es perpendicular a esta línea tangente. Como ejemplo de la aplicación de esta construcción, se podrían comparar los resultados de la Figura 5.10 con las intersecciones línea de flujo/línea equipotencial en la parte central derecha de la Figura 5.9 (c).

**Figura 5.10** Determinación de la dirección del flujo en una región anisotrópica con $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} = 5$ .

**Figura 5.10** Determinación de la dirección del flujo en una región anisotrópica con $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} = 5$ .

5.2 Redes de flujo por simulación analógica

Para el flujo en medio isotrópico homogéneo en un sistema de coordenadas xz, las líneas equipotenciales en una red de flujo son un reflejo gráfico de la solución, h(x, z), del problema de condición de contorno que describe el flujo de estado estacionario en la región. La construcción de la red de flujo es una solución indirecta a la ecuación de Laplace:

$\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial z^2} = 0$ (5.18)

Esta ecuación es una de las ecuaciones diferenciales parciales más frecuentes en la física matemática. Entre otros fenómenos físicos que describe es el flujo de calor a través de sólidos y el flujo de corriente eléctrica a través de medios conductores. Para este último caso, la ecuación de Laplace toma la forma

$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0$ (5.19)

donde V es el potencial o voltaje eléctrico.

La similitud de las ecuaciones (5.18) y (5.19) revela una analogía matemática y física entre el flujo eléctrico y el flujo de agua subterránea. Las dos ecuaciones se desarrollan sobre la base de una ley de flujo lineal, la ley de Darcy en un caso y la ley de Ohm en el otro; y una relación de continuidad, la conservación de la masa fluida en un caso y la conservación de la carga eléctrica en el otro. Una comparación de la ley de Ohm,

$l_x = -\sigma\frac{\partial V}{\partial x}$ (5.20)

y la ley de Darcy,

$v_x = -K\frac{\partial h}{\partial x}$ (5.21)

aclara la analogía a la vez. El caudal específico, v_x (caudal por unidad de área), es análogo a la densidad de corriente, I_x (corriente eléctrica por unidad de área); La conductividad hidráulica, K, es análoga a la conductividad eléctrica específica, σ; y la carga hidráulica h es análoga al potencial eléctrico, V.

La analogía entre flujo eléctrico y flujo de agua subterránea es la base para dos tipos de modelos analógicos que han demostrado ser útiles para la generación de redes de flujo cuantitativas. El primer tipo implica el uso de papel conductor y el segundo tipo utiliza redes de resistencia.

Análogos de papel conductor

Vamos a considerar una vez más el problema hidráulico que se muestra en la Figura 5.8 y que ahora se reproduce en la Figura 5.11 (a). El análogo eléctrico [Figura 5.11 (b)] consiste en una hoja de papel conductor cortada en la misma forma geométrica que el campo de flujo de agua subterránea. Una fuente de alimentación se utiliza para establecer un diferencial de tensión a través de los límites, y una sonda de detección conectada al circuito a través de un voltímetro se utiliza para medir la distribución de potencial en todas partes de la hoja conductora. Los límites de la carga constante, como el límite V = 100 de la Figura 5.11 (b), se crean con pintura de plata altamente conductora; los límites impermeables son simulados por los bordes no conectados del modelo de papel. Normalmente es posible encontrar las líneas equipotenciales de manera eficiente, de modo que se puede generar rápidamente una red equipotencial completa.

El método está limitado a sistemas homogéneos isotrópicos en dos dimensiones, pero es capaz de manejar formas y condiciones de contorno de regiones complejas. Las variaciones en la conductividad del papel comercialmente disponible pueden conducir a errores aleatorios que limitan la exactitud cuantitativa del método. Dos de las aplicaciones más detalladas del método son el análisis teórico de Childs (1943) de sistemas de flujo cercano a la superficie en tierras drenadas y la consideración de Tóth (1968) de redes de flujo de aguas subterráneas regionales para un área de campo en Alberta.

**Figura 5.11** Redes de flujo por simulación analógica eléctrica. (a) Problema del valor de límite hidrogeológico en estado estacionario; (b) análogo de papel conductor; (c) análogo de red de resistencias.

Análogo de red de resistencias

El uso de una red de resistencias como un análogo eléctrico se basa en los mismos principios que el análogo de papel conductor. En este enfoque [Figura 5.11 (c)] el campo de flujo es reemplazado por una red de resistencias conectadas entre sí en los puntos nodales de una cuadrícula. El flujo de electricidad a través de cada resistor es análogo al flujo de agua subterránea a través de un tubo de flujo paralelo al resistor y que tiene un área de sección transversal que se refleja en la separación de los resistores por una profundidad unitaria. Para el flujo eléctrico a través de un resistor individual, la I de la ecuación (5.20) ahora debe ser visto como la corriente, y la σ es igual a 1/R, donde R es la resistencia del resistor. Como en el análogo de papel, se establece una diferencia de potencial a través de los contornos de carga constante del modelo. Una sonda de detección se utiliza para determinar el voltaje en cada uno de los puntos nodales de la red y estos valores, cuando se registran y se grafican, crean la red equipotencial.

Al variar las resistencias en la red es posible analizar sistemas heterogéneos y anisotrópicos con análogos de redes de resistencias. Ellos poseen una precisión y versatilidad que es superior a los modelos de papel, pero no son tan flexibles como los métodos numéricos introducidos en la siguiente sección.

Karplus (1958) proporciona un manual detallado para simulación analógica. Han sido utilizado análogos de red de resistencias para generar las redes de flujo de aguas subterráneas por Luthin (1953) en una aplicación de drenaje, y por Bouwer y Little (1959) para un sistema saturado-insaturado. Bouwer (1962) utilizó el enfoque para analizar la configuración de las sobre-elevaciones del nivel de agua subterránea que se desarrollan debajo de los estanques de recarga.

El uso más extendido de métodos analógicos eléctricos en la hidrología de aguas subterráneas es en forma de redes de resistencia-capacitancia para el análisis del flujo transitorio en acuíferos. Esta aplicación se tratará en la Sección 8.9.

5.3 Redes de flujo por simulación numérica

El campo de la carga hidráulica h(x, z), que permite la construcción de una red de flujo, puede ser generado matemáticamente a partir del problema de valor de contorno correspondiente al estado estacionario en dos formas. El primer enfoque utiliza soluciones analíticas como se analiza en la Sección 2.11 y el Apéndice III; El segundo enfoque utiliza soluciones basadas en métodos numéricos. Los métodos analíticos se limitan a problemas de flujo en los que la región del flujo, las condiciones de los límites y la configuración geológica son simples y regulares. Como veremos en esta sección, los métodos numéricos son mucho más versátiles, pero su aplicación está vinculada inequívocamente al uso de una computadora.

Los métodos numéricos son aproximados. Se basan en una discretización del continuo que constituye la región de flujo. En la discretización, la región se divide en un número finito de bloques, cada uno con sus propias propiedades hidrogeológicas, y teniendo cada uno un nodo en el centro en el que se define la carga hidráulica para todo el bloque. La Figura 5.12 (a) muestra una cuadrícula nodal 7 × 5 centrada en el bloques (i = 1 to i = 7 en la dirección x y j = 1 to j = 5 en la dirección z) para una región de flujo rectangular.

Examinemos ahora el régimen de flujo en la vecindad de uno de los nodos interiores – digamos, en el bloque nodal, i = 4, j = 3 y sus cuatro vecinos circundantes. Para simplificar la notación, volveremos a numerar los nodos como se indica en la Figura 5.12 (b). Si el flujo se produce del nodo 1 al nodo 5, podemos calcular el caudal, Q₁₅, de la ley de Darcy:

$Q_{15} = K_{15}\frac{h_1 - h_5}{\Delta z}\Delta x$ (5.22)

para el flujo a través de una sección transversal de profundidad unitaria perpendicular a la página. En el supuesto de que el flujo se dirige hacia el nodo central en cada caso, podemos escribir expresiones similares para Q₂₅, Q₃₅ y Q₄₅. Para el flujo en estado estacionario, la consideración de la conservación de la masa fluida decreta que la suma de estos cuatro flujos debe ser cero. Si el medio es homogéneo e isotrópico, K₁₅ = K₂₅ = K₃₅ = K₄₅, y si seleccionamos arbitrariamente una cuadrícula nodal cuadrada de modo que Δx = Δz, la suma de los cuatro términos conduce a

$h_5 = \frac{1}{4}(h_1 + h_2 + h_3 + h_4)$ (5.23)

Esta ecuación es conocida como ecuación de diferencias finitas. Si volvemos a la notación ij de la Figura 5.12 (a), se convierte en

$h_{i,j} = \frac{1}{4}(h_{i,j-1} + h_{i+1,j} + h_{i,j+1} + h_{i-1,j})$ (5.24)

**Figura 5.12** (a) Rejilla nodal centrada en bloques para la simulación numérica de la red de flujo. (b) Nodo interior y sus bloques nodales vecinos. (c) Estrellas de diferencias finitas para un nodo interior y para nodos en un límite impermeable basal y una esquina impermeable.

En esta forma, la ecuación (5.24) se aplica para todos los nodos internos en la cuadrícula nodal. Establece una verdad elegantemente simple: un flujo estacionario, en un medio isotrópico homogéneo, la carga hidráulica en cualquier nodo es el promedio de los cuatro valores circundantes.

Un ejercicio similar revelará que la ecuación de diferencias finitas para un nodo a lo largo del contorno basal, suponiendo que el límite es impermeable, toma la forma

$h_{i,j} = \frac{1}{4}(h_{i-1,j} + h_{i+1,j} + 2h_{i,j+1})$ (5.25)

y, en un nodo de esquina,

$h_{i,j} = \frac{1}{4}(2h_{i-1,j} + 2h_{i,j+1})$ (5.26)

Las ecuaciones (5.24) a (5.26) se representan esquemáticamente, de manera auto explicativa, por las tres estrellas de diferencias finitas de la Figura 5.12 (c).

En resumen, es posible desarrollar una ecuación de diferencias finitas para cada nodo en la rejilla nodal. Si hay N nodos, hay N ecuaciones de diferencias finitas. También hay N incógnitas-los valores N valores de h en los N nodos. Por lo tanto, hemos producido N ecuaciones algebraicas lineales en N incógnitas. Si N es muy pequeño, podríamos resolver las ecuaciones directamente, usando una técnica como la regla de Cramer, pero cuando N es grande, como es invariablemente en la simulación de flujo numérico, debemos introducir un método más eficiente, conocido como relajación.

Mantengámonos fieles al problema de flujo de la Figura 5.11 (a) y supongamos que deseamos desarrollar su red de flujo por medios numéricos. En la rejilla nodal de la Figura 5.12 (a), los puntos nodales en los que se conoce la carga tienen círculos: h = 0 en i = 1, j = 3, y h = 100 en todos los nodos de la fila j = 5. La relajación implica barridos repetidos a través de la red nodal, de arriba a abajo y de izquierda a derecha (o de cualquier manera consistente), aplicando la correspondiente ecuación de diferencias finitas en cada nodo donde la carga es desconocida. Se debe asumir un valor de h inicial en cada nodo. Para el problema en cuestión, h = 50 podría ser asignado como el valor inicial en todos los nodos que no tienen círculos. En la aplicación de las ecuaciones de diferencias finitas, el valor de h calculado más recientemente se utiliza siempre en cada nodo. Cada paso a través del sistema se llama una iteración, y después de cada iteración los valores calculados de h se acercarán más a sus respuestas finales. La diferencia en h en cualquier nodo entre dos sucesivas iteraciones se denomina residual. El residuo máximo en el sistema disminuirá conforme las iteraciones avanzan. Se ha alcanzado una solución cuando el residuo máximo se reduce por debajo de una tolerancia predeterminada.

Para probar su comprensión del proceso de relajación, el lector podría llevar a cabo un par de iteraciones en la parte superior izquierda de la red. Si el valor asignado inicial en el nodo, i = 2, j = 4, por ejemplo, es 50, entonces el valor después de la primera iteración es 62,5 y después de la segunda es 64,0. El valor final, alcanzado después de varias iteraciones, está entre 65 y 66.

La simulación numérica es capaz de manejar cualquier forma de la región de flujo y cualquier distribución de las condiciones de contorno. Es fácil reconstruir las ecuaciones de diferencias finitas para mallas rectangulares donde Δx ≠ Δz, y para distribuciones heterogéneas de conductividad anisotrópica, donde los valores de K_x y K_z varían de nodo a nodo. En la Ec. (5.22), la técnica usual de promediar establecería K₁₅ = (K₁ + K₅)/2, donde K₁ y K₅, en este caso se refieren a las conductividades verticales en los nodos 1 y 5, y éstas podrían diferir entre sí y de las conductividades horizontales en estos nodos. La simulación numérica permite la construcción de la red de flujo en casos que son demasiado complejos para la construcción gráfica o para soluciones analíticas. La simulación numérica está casi siempre programada para computadoras, y los programas de computadora se escriben generalmente en una forma generalizada de modo que solamente se requieren nuevas tarjetas de datos para manejar problemas de flujo muy diferentes. Esta es una clara ventaja sobre los análogos de las redes de resistencias, que requieren una completa recomposición del cableado ensamblado para efectuar una nueva simulación.

El desarrollo de las ecuaciones de diferencias finitas presentadas en esta sección fue bastante informal. Es posible comenzar con la ecuación de Laplace y proceder más matemáticamente hacia el mismo resultado. En el Apéndice VI presentamos un breve desarrollo en este sentido. Tal vez sea importante señalar de pasada que el desarrollo informal utiliza la ley de Darcy y la relación de continuidad para alcanzar las expresiones de diferencias finitas. Estos son los mismos dos pasos que condujeron al desarrollo de la ecuación de Laplace en la Sección 2.11.

El método que hemos llamado relajación (según Shaw y Southwell, 1941) tiene varios alias. Es conocido como el método de Gauss-Seidel, el método de Liebmann, y el método de los desplazamientos sucesivos. Es el más simple, pero está lejos de ser el más eficiente, de muchos métodos disponibles para resolver el conjunto de ecuaciones de diferencias finitas. Por ejemplo, si las cargas calculadas durante la relajación son corregidas de acuerdo con

$h_{corr}^k = \omega h^k + (1 - \omega)h_{corr}^{k-1}$ (5.27)

donde es la carga computada a la h^k ésima iteración y $h_{corr}^{k-1}$ es la carga corregida de la iteración anterior, entonces el método se conoce como sobre relajación sucesiva y el número de iteraciones requeridas para alcanzar una solución convergida se reduce significativamente. El parámetro ω es conocido como el parámetro de sobre relajación, y debe estar en el intervalo 1 ≤ ω ≤ 2.

Hay muchos textos que le servirán bien al modelador numérico. McCracken y Dorn (1964) proporcionan una introducción elemental a las técnicas de simulación por computadora en su manual Fortran. Forsythe y Wasow (1960) entregan su mensaje a un nivel matemático más avanzado. Remson et al. (1971) discuten un amplio espectro de técnicas numéricas con particular referencia al flujo de agua subterránea. Pinder y Gray (1977) tratan el tema a un nivel más avanzado.

Los métodos numéricos fueron introducidos en la literatura sobre hidrología de aguas subterráneas por Stallman (1956) en un análisis de los niveles de agua regionales. Fayers y Sheldon (1962) estuvieron entre los primeros en abogar por la simulación numérica del estado estacionario en el estudio de la hidrogeología regional. Remson et al. (1965) utilizaron el método para predecir el efecto de un reservorio propuesto sobre los niveles del agua subterránea en un acuífero de arenisca. Freeze y Witherspoon (1966) generaron muchas redes numéricas de flujo en su estudio teórico del flujo de agua subterránea regional. El método fue ampliamente utilizado mucho antes en el campo del drenaje agrícola (ver Luthin y Gaskell, 1950) y en la derivación de patrones de infiltración en presas de tierra (Shaw y Southwell, 1941).

En los últimos años, el método de diferencias finitas ha sido igualado en popularidad por otro método numérico de solución, conocido como el método de elementos finitos. También conduce a un conjunto de N ecuaciones con N incógnitas que pueden ser resueltas por relajación, pero los nodos en el método de elementos finitos son los puntos de las esquinas de una malla irregular triangular o cuadrilátera diseñada por el modelador para cada aplicación específica, en lugar de la malla rectangular regular del método de diferencias finitas. En muchos casos, una red nodal más pequeña es suficiente y hay economías resultantes en el esfuerzo de la computadora. El método de elementos finitos también es capaz de manejar una situación que el método de diferencias finitas no puede. El método de las diferencias finitas requiere que las direcciones principales de la anisotropía en una formación anisotrópica sean paralelas a las direcciones coordenadas. Si hay dos formaciones anisotrópicas en un campo de flujo, cada una con diferentes direcciones principales, el método de diferencias finitas se bloquea, mientras que el método de elementos finitos puede proporcionar una solución. El desarrollo de las ecuaciones de elementos finitos requiere una sofisticación matemática que está fuera de lugar en este texto introductorio. El lector interesado debe referirse a Pinder y Gray (1977). Los métodos numéricos, tanto de diferencias finitas como de elementos finitos, se utilizan ampliamente como base para la simulación por computadora del flujo transitorio en acuíferos subterráneos. Esta aplicación se discute en la Sección 8.8.

5.4 Redes de flujo en la zona saturada-no saturada

Existe otro tipo de redes de flujo que es extremadamente difícil de construir por medios gráficos. Para problemas de flujo que involucran el flujo en la zona saturada-no saturada, las redes de flujo en estado estacionario son usualmente derivadas a través de la simulación numérica. Considere la red de flujo ilustrada en la Figura 5.13, la cual es similar al problema que hemos analizado repetidamente en las secciones anteriores, en la que se involucra el flujo hacia un drenaje en un sistema con fronteras impermeables en tres lados, pero difiere en que la escala vertical ha sido ajustada de forma que la carga hidráulica en la frontera superior ahora infiere un valor de carga de presión que es menor que la presión atmosférica. Esto significa que el suelo no está saturado en la superficie, aunque si ocurre flujo hacia el drenaje, estará saturado en profundidad. La red de flujo cualitativa en la Figura 5.13 ha sido desarrollada para un suelo cuyas curvas características en la zona no saturada se muestran en las gráficas de la derecha. Estas curvas de conductividad hidráulica, K, y contenido de humedad θ como función de ψ, son las curvas de humedecimiento tomadas de la Figura 2.13.

**Figura 5.13** Redes de flujo en la frontera de la zona saturada y la zona no saturada en un suelo homogéneo e isotrópico. Las gráficas de la derecha muestran las curvas características del suelo en la zona no saturada.

Al igual que en el caso unidimensional de la zona saturada-no saturada esquemáticamente ilustrado en la Figura 2.12, hay tres tipos de salida en una simulación numérica, en estado estacionario, para la red de flujo bidimensional en la zona saturada-no saturada. Primero, hay un patrón de la carga hidráulica, h(x, z), que permite la construcción de la red de líneas equipotenciales (líneas discontinuas de la Figura 5.13). Segundo, existe un patrón de carga de presión ψ(x, z) (las líneas punteadas de la Figura 5.13), el cual es de particular valor en definir la posición del nivel freático (la isobara ψ = 0). Tercero, se tiene un patrón de contenido de humedad, θ(x, z), el cual puede ser determinado a partir del patrón ψ(x, z) con la ayuda de la curva θ(ψ) para el suelo. Por ejemplo, a lo largo de la línea punteada ψ = -50 cm en la Figura 5.13, el contenido de humedad, θ, es 27%.

Las líneas de flujo y equipotenciales forman una red continua sobre la región saturada-no saturada. Estas líneas se intersectan en ángulo recto a través del sistema. Una red de flujo cuantitativa podría dibujarse con cuadrados curvilíneos en la porción homogénea, isotrópica y saturada; sin embargo, dichos tubos de flujo no exhibirían rectángulos al cruzar por la zona no saturada, incluso en suelos isotrópicos y homogéneos. A medida que la carga de presión (y el contenido de humedad) decrece, también lo hace la conductividad hidráulica, y por lo tanto se requieren gradientes hidráulicos mayores para entregar la misma descarga en un tubo de flujo determinado. Este fenómeno puede ser observado en los tubos de flujo de la esquina superior izquierda de la red de flujo de la Figura 5.13, donde los gradientes aumentan a medida que se acercan a la superficie.

El concepto de un sistema de flujo integrado en la frontera de la zona saturada y la zona no saturada fue introducido en la literatura por Luthin y Day (1955). Ellos utilizaron simulación numérica y un tanque de arena experimental para derivar su patrón h(x, z). Bouwer y Little (1959) utilizaron una red de resistencia eléctrica para analizar el drenaje por tuberías y problemas relacionados con el riego subsuperficial, similar al concepto mostrado en la Figura 5.13. Las redes de flujo saturada-no saturada son necesarias para explicar los acuíferos colgados (Figura 2.15 y Figura 6.11), y para entender el régimen hidrológico en una loma como la correspondiente a la generación de escorrentía en los arroyos (Sección 6.5). Reisenauer (1963) y Jeppson y Nelson (1970) utilizaron simulación numérica para observar el régimen saturado-insaturado debajo de pozos y canales. La solución de dichos autores tiene aplicación para el análisis de recarga artificial de agua subterránea (Sección 8.11). Freeze (1971b) consideraró la influencia de la zona no saturada en la filtración de presas (Sección 10.2).

5.5 El frente de filtración y el flujo de Dupuit

Frente de filtración, punto de salida y superficie libre

Si existe un sistema de flujo saturado-no saturado en la vecindad de una frontera de salida libre de un flujo, tal como la ribera de un río o la superficie de aguas abajo de una presa de tierra, un frente de filtración se desarrollará en la frontera de salida del flujo. En la Figura 5.14 (a), BC es una frontera con carga constante y DC es impermeable. Si no hay ingreso de agua en la superficie, AB también funcionará como una frontera impermeable.

**Figura 5.14** Desarrollo de un frente de filtración en una frontera libre de salida de flujo. (a) Red de flujo saturado–insaturado; (b) red de flujo en superficie libre; (c) Red de flujo Dupuit-Forchheimer.

El nivel freático EF intersecta la frontera de salida de flujo AD en el punto de salida E. Todo el flujo debe dejar el sistema a través del frente de filtración ED debajo del punto de salida E. Arriba de E, a lo largo de la línea AE las cargas de presión no saturada, ψ, son menores que la atmosférica, por lo tanto, la salida de flujo a la atmósfera es imposible. En efecto, AE actúa como una frontera impermeable. La condición en ED es h = z, es la misma que en el nivel freático. El problema de preparar una red de flujo para tales casos recae en el hecho de que la posición del punto de salida que separa las dos condiciones de frontera en el punto de salida no es conocida a priori. En una simulación numérica, es necesario proveer de un valor inicial para la posición del punto de salida. El punto de salida correcto es entonces determinado por una serie de soluciones de prueba y error en estado estacionario.

La construcción de la red de flujo cuantitativa en un régimen saturado–insaturado requiere conocimiento de ambos, la conductividad hidráulica saturada, K, y la curva característica de la zona no saturada para el suelo K(ψ). En muchas aplicaciones de ingeniería, incluyendo el análisis de filtración a través de presas de tierra, los últimos datos rara vez están disponibles. En tales casos, se asume usualmente que el flujo en la porción no saturada del sistema es despreciable, o visto de otra forma, que la conductividad hidráulica del suelo a un contenido de humedad menor que la de saturación es despreciable comparado con la conductividad hidráulica saturada. En este caso, la frontera superior del flujo total se convierte en el nivel freático y esta superficie del nivel freático se convierte en una línea de flujo. Bajo estas circunstancias la frontera superior es conocida como superficie libre. La red de flujo en un sistema saturado limitado por una superficie libre puede ser construido de la forma habitual, sin embargo, hay una complicación. La posición completa de la superficie libre (no solo el punto de salida) es desconocida a priori. Las condiciones de frontera en la superficie libre deben satisfacerdos condiciones, la correspondiente al nivel freático (h = z), y la de las línea de flujo (las líneas equipotenciales deben intersectarlas en ángulos rectos). Su posición usualmente se determina gráficamente por ensayo y error. Textos de ingeniería de filtración, tales como Harr (1962) o Cedergren (1967), proveen orientaciones para la construcción gráfica e incluyen muchos ejemplos de redes de flujo de superficie libre en estado estacionario.

La Figura 5.14 (b) es la red de flujo de superficie libre equivalente a la red de flujo saturada–insaturada de la Figura 5.14 (a). Un vistazo a los dos diagramas confirma que la decisión de especificar el nivel freático como una línea de flujo es una muy buena aproximación para este sistema de flujo particular. La frontera de salida de flujo ED es aún desconocido en el frente de filtración. Encontraremos el frente de filtración en un sentido práctico cuando examinemos la hidrología de ladera (Sección 6.5) y cuando consideremos un frente de filtración a través de presas de tierra (Sección 10.2)

Teoría de Dupuit – Forchheimer para flujo de superficie libre

Para el flujo en sistemas no confinados bordeados por una superficie libre, una aproximación iniciada por Dupuit (1863) y desarrollada por Forchheimer (1930) se invoca con frecuencia. Está basada en dos suposiciones: (1) Las líneas de flujo son horizontales y las líneas equipotenciales verticales; y (2) El gradiente hidráulico es igual a la pendiente de la superficie libre y se mantiene invariable con la profundidad. La Figura 5.14 (c) muestra la red de flujo equipotencial para el mismo problema de la Figura 5.14 (a), pero con las suposiciones de Dupuit. La construcción rigurosa de líneas de flujo ya no es posible. Esta situación paradójica identifica la teoría de Dupuit – Forchheimer por lo que es, una aproximación empírica del campo del flujo real. En efecto, la teoría desprecia las componentes verticales del flujo. En la práctica, su valor yace en reducir el sistema bidimensional a una dimension para propósitos de análisis. Los cálculos basados en las suposiciones de Dupuit se comparan favorablemente con aquellos basados en métodos más rigurosos cuando la pendiente de la superficie libre es pequeña y cuando la profundidad del campo de flujo no confinado es somera. El caudal Q a través de una sección transversal de ancho unitario perpendicular a la página en la Figura 5.14 (c) está dado por

$Q = Kh(x)\frac{dh}{dx}$ (5.28)

donde h(x) es la elevación de la superficie libre sobre la base del sistema de flujo a la distancia x, y el gradiente dh/dx está dado por la pendiente de la superficie libre Δh/Δx a la distancia x. Para un flujo en estado estacionario, Q debe ser constante a través del sistema y esto puede ser cierto solamente si la superficie libre es una parábola.

La ecuación de flujo para la teoría de Dupuit – Forchheimer en un medio homogéneo e isotrópico puede desarrollarse de la ecuación de continuidad, dQ/dx = 0. De la ecuación (5.28), se tiene

$\frac{d^2(h^2)}{dx^2} = 0$ (5.29)

Si un campo tridimensional con flujo no confinado se reduce a un campo de flujo horizontal bidimensional xy al aplicar la teoría de Dupuit – Forchheimer, la ecuación de flujo en un medio homogéneo e isotrópico se convierte en

$\frac{\partial^2(h^2)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2(h^2)}{\partial y^2} = 0$ (5.30)

En otras palabras, h² en lugar de h debe satisfacer la ecuación de Laplace. Es posible configurar problemas de condiciones de frontera y estado estacionario basados en la ecuación (5.30) y resolver para h(x, y) en campos de flujo somero, horizontal por simulación analógica o numérica. Es posible desarrollar una ecuación de flujo en estado transitorio para el flujo en superficie libre de Dupuit en acuíferos libres en donde h² reemplaza a h en el lado izquierdo de la ecuación (2.77).

Harr (1962) discute en algún detalle los aspectos prácticos de la teoría de Dupuit – Forchheimer. Bear (1972) incluye un largo tratamiento teórico. Kirkham (1967) examina la paradoja en la teoría y proporciona algunas explicaciones reveladoras. El enfoque es ampliamente usado en aplicaciones de ingeniería.

Lecturas Sugeridas

CEDERGREN, H. R. 1967. Seepage, Drainage and Flow Nets. Chapter 4: Flow Net Construction, John Wiley & Sons, New York, pp. 148-169.

HARR, M. E. 1962. Groundwater and Seepage. Chapter 2: Application of the Dupuit Theory of Unconfined Flow, McGraw-Hill, New York, pp. 40-61.

KIRKHAM, D. 1967. Explanation of paradoxes in Dupuit-Forchheimer seepage theory. Water Resources Res., 3, pp. 609-622.

PRICKETT, T. A. 1975. Modeling techniques for groundwater evaluation. Adv. Hydrosci., 10, pp. 42-45, 66-75.

REMSON, I., G. M. HORNBERGER, and F. J. MOLZ. 1971. Numerical Methods in Subsurface Hydrology. Chapter 4: Finite-Difference Methods Applied to Steady-Flow Problems, Wiley Interscience, New York, pp. 123-156.

Problemas

Considere una sección transversal saturada, homogénea, isotrópica, rectangular, y vertical ABCDA, con frontera superior AB, frontera basal DC, lado izquierdo AD, y derecho BC. La distancia DC es dos veces AD. Dibuje una red de flujo cuantitativamente precisa para cada uno de los casos.
1. BC y DC son impermeables. AB es una frontera de carga constante con h = 100 m. AD está dividida en dos partes iguales con la frontera superior impermeable y la inferior con carga constante h = 40 m.
2. AD y BC son impermeables, AB es una frontera de carga constante h = 100 m. DC está dividida en tres porciones iguales con los lados izquierdos y derechos impermeables y la porción central posee carga constante con h = 40 m.

Convierta la sección transversal vertical ABCDA del problema 1 en una sección trapezoidal, elevando el punto B verticalmente de forma tal que D y C se encuentren a 0 m, A a 100 m, y B a 130 m. Los lados AD, DC y BC son impermeables y AB representa el nivel freático de pendiente constante (en la cual la carga hidráulica es igual a la elevación).
1. Dibuje una red de flujo cuantitativamente precisa para este caso. Identifique las líneas equipotenciales con su h correcto.
2. Si la conductividad hidráulica en la región es 10^-4 m/s, calcule el flujo total a través del sistema en m^-5 m/s (por metro de espesor perpendicular a la sección)
3. Use la Ley de Darcy para calcular la velocidad de entrada o salida de flujo en cada punto donde las líneas de flujo intersectan la frontera superior.

1. Repita los Problemas 2(a) y 2(b) para el caso homogéneo, anisotrópico en el cual la conductividad hidráulica horizontal es 10^-4 m/s, y la conductividad hidráulica vertical es 10^-5 m/s.
2. Dibuje la elipse de conductividad hidráulica para la formación homogénea anisotrópica de la parte (a). Muestre a través del ajuste de la construcción de la elipse, que la relación entre la dirección de flujo y la dirección del gradiente hidráulico indicado por su red de flujo es correcta en dos puntos de dicha red.

Repita el Problema 2(a) para el caso donde el drenaje de flujo libre (por ejemplo a la presión atmosférica) está localizado en el punto medio de BC. El drenaje está orientado en ángulos rectos al plano de la red de flujo.

1. Repita los Problemas 1(a), 1(b) y 2(a) para el caso de dos capas en el cual la mitad inferior del campo tiene un valor de conductividad hidráulica 5 veces mayor que el de la mitad superior.
2. Repita el Problema 1(b) para el caso de dos capas en el cual la mitad superior del campo tiene un valor de conductividad hidráulica 5 veces mayor que el de la mitad inferior.

Esquematice un piezómetro que se asiente cerca del centro de campo de flujo en cada una de las redes construidas en los Problemas 2, 3, 4, y 5, y muestre los niveles de agua que podrían existir en esos piezómetros de acuerdo a las redes de flujo que ha dibujado antes.

1. Dibuje nuevamente la red de flujo de la Figura 5.3 para una presa que tiene 150 m de ancho en la base, sobreyaciendo por una capa de 120 m de espesor. Ajuste los lados h₁ = 150 m y h₂ = 125 m.
2. Repita el Problema 7(a) para el caso de dos capas en el cual la capa superior de 60 m es 10 veces menos permeable que la capa inferior de 60 m.

Considere dos piezómetros, alejados 500 m entre sí, asentados a 100 m y 120 m en un acuífero confinado. La elevación del nivel freático es 170 m sobre la frontera inferior horizontal e impermeable en el piezómetro más somero y 150 m en el más profundo. Utilice las asunciones de Dupuit – Forchheimier para calcular la altura del nivel freático en el punto medio de los dos piezómetros, y para calcular la cantidad de filtración a través de una sección de 10 m en la cual K = 10^-3 m/s.

Esquematice las redes de flujo en un plano horizontal a través de un acuífero confinado horizontal:
1. Para flujo hacia un pozo de bombeo en estado estacionario (por ejemplo, un pozo en el cual el nivel del agua permanece constante)
2. Para dos pozos en estado estacionario que bombean a la misma tasa (por ejemplo, se producen iguales cargas en el pozo)
3. Para un pozo cerca de una frontera con carga constante y lineal.

Freeze and Cherry Groundwater Book

Capítulo 5: Redes de flujo