Capítulo 2: Propriedades e Princípios Físicos

2
Propriedades e Princípios Físicos

Tradutores: Rafael Magnabosco Gomes; Paulo Galvão (líder de capítulo e gerente); Diego Fernandes Nogueira (diagramador); Everton de Oliveira (coordenador).

2.1 Lei de Darcy

O nascimento da hidrologia subterrânea como uma ciência quantitativa pode ser atribuída ao ano de 1856. Foi nesse ano que um engenheiro hidráulico francês chamado Henry Darcy publicou o seu relatório sobre o abastecimento de água da cidade de Dijon, na França. No relatório, Darcy descreveu um experimento de laboratório que ele realizou para analisar o fluxo de água através de areias. Os resultados de seu experimento podem ser generalizados na lei empírica que hoje leva seu nome.

Considere um aparato experimental como o mostrado na Figura 2.1. Um cilindro circular de seção transversal A é preenchido com areia, tamponado em cada extremidade e equipado com tubos de entrada e saída e um par de manômetros. A água é introduzida no cilindro e flui através dele até o momento em que todos os poros estão preenchidos por água e a vazão de entrada de fluxo Q é igual à vazão de saída. Se definirmos um datum arbitrário na elevação z = 0, as elevações de entrada dos manômetros são z1 e z2 e as elevações dos níveis do fluido são h1 e h2. A distância entre as entradas dos manômetros é Δl. Define-se v como a vazão específica através do cilindro, como:

v = \frac{Q}{A} (2.1)

Figura 2.1 Aparato experimental para ilustrar a Lei de Darcy.

Se as dimensões de Q são [L3/T] e as de A são [L2], v tem dimensões de velocidade [L/T].

As experiências realizadas por Darcy mostram que v é diretamente proporcional à h1h2, quando Δl é mantido constante e inversamente proporcional à Δl, e quando h1h2 é mantido constante. Definindo Δh = h2h1 (uma convenção de sinais arbitrários que nos coloca em boa posição para desenvolvimentos posteriores), tem-se v ∝ –Δh e v ∝ 1/Δh. Agora, a Lei de Darcy pode ser escrita como:

v = -K\frac{\Delta h}{\Delta l} (2.2)

ou na forma diferencial:

v = -K\frac{dh}{dl} (2.3)

Na Eq. (2.3), h é chamado de carga hidráulica e dh/dl é o gradiente hidráulico. K é uma constante de proporcionalidade que deve ser uma propriedade do solo no cilindro, pois, ao manter o gradiente hidráulico constante, a vazão específica certamente seria maior para alguns solos do que para outros. Em outras palavras, se dh/dl é constante, v ∝ K. O parâmetro K é conhecido como condutividade hidráulica. Tem valores altos para areia e cascalho e baixos para argila e para a maioria das rochas. Como tanto Δh quanto Δl têm unidades de comprimento [L], uma rápida análise dimensional da Eq. (2.2) mostra que K tem dimensões de velocidade [L/T]. Na Seção 2.3 será visto que K é uma função não só do meio, mas também do fluido que passa através desse meio.

Uma forma alternativa da Lei de Darcy pode ser obtida pela substituição da Eq. (2.1) na Eq. (2.3):

Q = -K\frac{dh}{dl}A (2.4)

Podendo, às vezes, ser compactada ainda mais:

Q = KiA (2.5)

onde i é o gradiente hidráulico.

A Lei de Darcy é válida para fluxo de água subterrânea em qualquer direção no espaço. Com relação à Figura 2.1 e à Eq. (2.3), se o gradiente hidráulico dh/dl e a condutividade hidráulica K são mantidos constantes, v é independente do ângulo θ. Isso é verdadeiro mesmo para valores de θ maiores que 90°, quando o fluxo está sendo forçado contra a gravidade através do cilindro.

Nota-se que a vazão específica v tem as dimensões de velocidade, ou de fluxo. Por tal razão, às vezes, é conhecido como a velocidade de Darcy, ou fluxo de Darcy. A vazão específica é um conceito macroscópico facilmente medido e deve ser claramente diferenciada das velocidades microscópicas associadas com os caminhos reais percorridos pelas partículas individuais de água através dos grãos de areia (Figura 2.2). As velocidades microscópicas são reais, mas são provavelmente impossíveis de se medir. No restante do capítulo será trabalhado exclusivamente o conceito de fluxo em escala macroscópica. Apesar de suas dimensões, não será feita referência a v como velocidade; em vez disso, será utilizado o termo mais correto, vazão específica.

Figura 2.2 Conceitos macroscópico e microscópico de fluxo de água subterrânea.

Este último parágrafo pode aparecer inócuo, mas ele anuncia uma decisão de fundamental importância. Quando decide-se analisar o fluxo de água subterrânea com a abordagem de Darcy, significa dizer que o conjunto de grãos de areia (ou partículas de argila, ou fragmentos de rocha) que compõe o meio poroso será substituído por um “continuum” representativo, onde pode-se definir parâmetros macroscópicos, tal como a condutividade hidráulica, e utilizar leis macroscópicas, como a Lei de Darcy, que fornecem, macroscopicamente, descrições médias do comportamento microscópico. Este é um passo conceitualmente simples e lógico de se fazer, mas repousa sobre alguns fundamentos teóricos complicados. Bear (1972), em seu texto avançado sobre fluxo em meios porosos, discute tais fundamentos em detalhe. Na Seção 2.12, serão exploradas ainda mais as interrelações entre as descrições microscópica e macroscópica de fluxo de água subterrânea.

A Lei de Darcy é uma lei empírica, baseada apenas em evidência experimental. Muitas tentativas foram feitas para derivar a Lei de Darcy das leis físicas mais fundamentais, e Bear (1972) também revisa esses estudos com algum detalhe. As abordagens mais bem sucedidas tentam aplicar as equações de Navier-Stokes, as quais são amplamente conhecidas no estudo de mecânica de fluidos, para o fluxo de água através de canais dos poros de modelos conceituais de meios porosos idealizados. Hubbert (1956) e Irmay (1958) foram, aparentemente, os primeiros a tentar este exercício.

Este texto vai fornecer uma ampla evidência da importância fundamental da Lei de Darcy na análise do fluxo de água subterrânea, mas vale notar aqui que ela é igualmente importante em muitas outras aplicações de fluxo em meios porosos. Essa lei descreve o fluxo de umidade do solo e é usada por físicos de solo, engenheiros agrícolas e especialistas de mecânica de solo. Ela é usada na descrição do fluxo de gás e petróleo em formações geológicas profundas e é usada por analistas de reservatórios de petróleo. É ainda utilizada na concepção de filtros pelos engenheiros químicos, na concepção de cerâmicas porosas por cientistas de materiais e por biocientistas para descrever o escoamento de fluidos corporais através de membranas porosas no corpo.

A Lei de Darcy é uma lei empírica poderosa e seus componentes merecem a mais cuidadosa atenção. As próximas duas seções fornecem uma visão mais detalhada sobre o significado físico da carga hidráulica h e da condutividade hidráulica K.

2.2 Carga Hidráulica e Potencial de Fluido

A análise de um processo físico que envolva fluxo geralmente requer o reconhecimento de um gradiente de potencial. Por exemplo, sabe-se que o calor flui através de sólidos a partir de temperaturas mais elevadas para mais baixas e que a corrente elétrica flui através de circuitos elétricos de altas voltagens em direção às mais baixas. Por estes processos, a temperatura e a voltagem são quantidades de potencial, e as taxas de fluxo de calor e de eletricidade são proporcionais a estes gradientes de potencial. A tarefa aqui é determinar o gradiente de potencial que controla o fluxo de água através de meios porosos.

Felizmente, esta questão foi cuidadosamente considerada por Hubbert em seu clássico tratado sobre o fluxo de águas subterrâneas (Hubbert, 1940). Na primeira parte desta seção serão revistos seus conceitos e deduções.

Análise do Potencial de Fluido de Hubbert

Hubbert (1940) define potencial como “uma quantidade física capaz de medir cada ponto de um sistema de fluxo, cujas propriedades são tais que o fluxo sempre ocorre a partir de regiões em que a quantidade tem valores maiores para aquelas em que tem valores menores, independentemente da direção no espaço” (p. 794). No experimento de Darcy (Figura 2.1), a carga hidráulica, indicada pelos níveis de água nos manômetros, parece satisfazer a definição, mas como Hubbert aponta que, “para adotá-la empiricamente sem uma investigação adicional seria como ler o comprimento da coluna de mercúrio de um termômetro sem saber que a temperatura era a quantidade física que estava sendo indicada” (p. 795).

Duas óbvias possibilidades para a quantidade potencial são a elevação e a pressão do fluido. Se o aparato de Darcy (Figura 2.1) fosse montado com um cilindro vertical (θ = 0°), o fluxo certamente ocorreria de cima para baixo através do cilindro (de alta para baixa elevação) em resposta à gravidade. Por outro lado, se o cilindro fosse colocado na posição horizontal (θ = 90°), para que a gravidade não desempenhasse nenhum papel, o fluxo poderia presumivelmente ser induzido pelo aumento da pressão de um lado e diminuição no outro. Individualmente, nem a altitude e nem a pressão são potenciais adequados, mas, certamente, é justificável esperar-se que eles sejam componentes da quantidade de potencial total.

Não será nenhuma surpresa aos que tenham sido expostos aos conceitos de potencial na física fundamental ou na mecânica de fluidos que a melhor maneira de analisar um problema físico é examinar as relações de energia durante o processo de fluxo. Na verdade, a definição clássica de potencial como é normalmente apresentada por matemáticos e físicos é em termos do trabalho feito durante o processo de fluxo; e o trabalho feito para mover uma unidade de massa de fluido entre dois pontos quaisquer num sistema de fluxo é uma medida da perda de energia pela unidade de massa.

O fluxo de fluidos através de meios porosos é um processo mecânico. As forças que impulsionam o fluido adiante devem superar as forças de atrito criadas entre o fluido em movimento e os grãos do meio poroso. O fluxo é, por conseguinte, acompanhado por uma transformação irreversível de energia mecânica em energia térmica através do mecanismo de resistência pelo atrito. A direção do fluxo no espaço deve, portanto, ser de regiões em que a energia mecânica por unidade de massa de fluido é mais alta para regiões em que essa energia é menor. Considerando-se que a energia mecânica por unidade de massa, em qualquer ponto de um sistema de fluxo, pode ser definida como o trabalho necessário para mover uma unidade de massa de fluido a partir de um estado padrão arbitrariamente escolhido para o ponto em questão, fica claro que se descobriu uma quantidade física que satisfaz tanto a definição de Hubbert de potencial (em termos de direção de fluxo), quanto a definição clássica (em termos de trabalho realizado). O potencial do fluido para fluxo através do meio poroso é, portanto, a energia mecânica por unidade de massa de fluido.

Resta agora relacionar essa quantidade para os termos de elevação e pressão que foram antecipados anteriormente. Considere um estado padrão arbitrário (Figura 2.3) à elevação z = 0 e pressão p = p0, onde p0 é a pressão atmosférica. Uma unidade de massa de fluido de densidade ρ0 ocupará um volume V0, onde V0 = 1/ρ0. Deseja-se calcular o trabalho necessário para elevar a unidade de massa de fluido a partir do estado normal para um ponto P no sistema de fluxo que está em uma elevação z onde a pressão do fluido é p. Uma unidade de massa de fluido pode ter densidade ρ e ocupará um volume   V = 1/ρ. Além disso, o fluido será considerado como tendo velocidade v = 0 num estado padrão e velocidade v no ponto P.

Figura 2.3 Dados para calcular a energia mecânica da unidade de massa de fluido.

Há três componentes para o cálculo do trabalho. Primeiro, há o trabalho necessário para se levantar a massa de elevação z = 0 para elevação z:

w_1 = mgz (2.6)

Segundo, há o trabalho necessário para acelerar o fluido de velocidade v = 0 para velocidade v:

w_2 = \frac{mv^2}{2} (2.7)

Terceiro, há o trabalho realizado sobre o fluido para o aumento da pressão do fluido de  p = p0  para p:

w_3 = m \int^p_{p_0}\frac{V}{m}dp = m \int^p_{p_0}\frac{dp}{\rho} (2.8)

Se o fluido fluísse do ponto P para um ponto no estado padrão, a Eq. (2.6) representaria a perda de energia potencial, a Eq. (2.7) seria a perda de energia cinética e a Eq. (2.8) seria a perda de energia elástica, ou o trabalho  p – V.

O potencial de fluido Φ (energia mecânica por unidade de massa) é a soma de w1, w2 e w3. Para uma unidade de massa de fluido, m = 1 nas Eqs. (2.6), (2.7) e (2.8), tem-se:

\Phi = gz + \frac{v^2}{2}+\int^p_{p_0}\frac{dp}{\rho} (2.9)

Para fluxo em meios porosos, as velocidades são extremamente baixas, então o segundo termo pode ser quase sempre desprezado. Para fluidos incompressíveis (fluidos com uma densidade constante, de modo que ρ não é função de p), a Eq. (2.9) pode ser ainda mais simplificada para resultar:

\Phi = gz + \frac{p-p_0}{\rho} (2.10)

As previsões anteriores para os prováveis componentes do potencial do fluido agora podem ser consideradas corretas. O primeiro termo da Eq. (2.10) envolve a elevação z e o segundo envolve a pressão p no fluido.

Entretanto, como estes termos relacionam-se à carga hidráulica h? Retorne-se ao manômetro de Darcy (Figura 2.4). Em P, a pressão de fluido p é dada por:

p = \rho g\psi + p_0 (2.11)

onde ψ é a altura da coluna de líquido acima P e p0 é a pressão atmosférica, ou a pressão no estado padrão. A partir da Figura 2.4 e da Eq. 2.11, fica claro que:

p = \rho g(h-z) + p_0 (2.12)

Figura 2.4 Carga hidráulica h, carga de pressão ψ e carga de elevação z para manômetro de laboratório.

Substituindo a Eq. (2.12) na Eq. (2.10), tem-se:

\Phi = gz + \frac{[\rho g(h-z)+p_0]-p_0}{\rho} (2.13)

ou, cancelando termos,

\Phi = gh (2.14)

Esse longo exercício permitiu que se chegasse à conclusão mais simples. O potencial de fluido Φ em qualquer ponto P em um meio poroso é simplesmente a carga hidráulica no ponto multiplicado pela aceleração da gravidade. Como g é quase que constante próximo a superfície da Terra, Φ e h são quase que perfeitamente correlacionados. Saber um é saber o outro. A carga hidráulica h é portanto um potencial tão adequado como é Φ. Recordando a definição de Hubbert: é uma quantidade física, que é possível de ser medida e o fluxo ocorre sempre de regiões onde o h tem valores mais elevados para as regiões de menores valores. De fato, a Eq. (2.14) mostra que, se Φ é energia por unidade de massa, então h é energia por unidade de peso.

É comum na hidrologia de água subterrânea definir-se a pressão atmosférica p0 como igual a zero e trabalhar em pressões calibradas (i.e., pressões acima da atmosférica). Neste caso, as Eqs. (2.10) e (2.14) tornam-se:

\Phi = gz + \frac{p}{\rho} = gh (2.15)

Dividindo por g, obtém-se:

h = z + \frac{p}{\rho g} (2.16)

Colocando a Eq. (2.11) em termos de pressões calibradas (p0 = 0), tem-se:

p = \rho g \psi (2.17)

E a Eq. (2.16) torna-se:

h = z + \psi (2.18)

Desta forma, a carga hidráulica h é a somatória de dois componentes: a elevação no ponto de medição, ou carga de elevação z e a carga de pressão ψ. Essa relação fundamental é a base para o entendimento do fluxo de água subterrânea. A Figura 2.4 mostra a relação para o manômetro de Darcy e a Figura 2.5 para um local de medição no campo.

Os familiarizados com a mecânica de fluidos elementar já podem ter reconhecido a Eq. (2.9) como a Equação de Bernoulli, a fórmula clássica de perda de energia durante o fluxo de fluido. Alguns autores (Todd, 1959; Domenico, 1972) utilizaram a equação de Bernoulli como ponto de partida para os seus desenvolvimentos de conceitos de potencial de fluido e carga hidráulica. Colocando-se a Eq. (2.9) em termos de carga e usando uma notação simplificada, ela torna-se:

h_T = h+z + h_p + h_v (2.19)

onde hz é a carga de elevação, hp a carga de pressão e hv a carga de velocidade. Em notações anteriores: hz = z, hp = ψ e hv = v2/2g. O termo hT é chamado de carga total, e para o caso especial onde hv = 0, este é igual à carga hidráulica h e a Eq. (2.18) se mantém.

Figura 2.5 Carga hidráulica h, carga de pressão ψ e carga de elevação z para um piezômetro.

Dimensões e Unidades

As dimensões dos termos de carga h, ψ e z são de comprimento [L]. Eles são geralmente expressos como “metros de água” ou “pés de água”. A especificação “de água” enfatiza que as medidas de carga são dependentes da densidade de fluido por meio da relação da Eq. (2.17). Dada a mesma pressão de fluido p no ponto P na Figura 2.5, a carga hidráulica h e a carga de pressão ψ teriam valores diferentes se o fluido nos poros da formação geológica fosse óleo em vez de água. Neste texto, onde a água sempre é o foco de análise, o termo adjetivo “de água” será abandonado e carga será anotada em metros.

Quanto aos outros termos introduzidos nesta seção; no sistema SI, com a base [M] [L] [T], a pressão tem dimensões [M/LT2], a densidade tem dimensões [M/L3] e o potencial de fluido, a partir da sua definição, é a energia por unidade de massa com dimensões [L2/T2]. A Tabela 2.1 esclarece as dimensões e as unidades comuns para todos os parâmetros introduzidas até agora. Usar o Apêndice I para resolver qualquer confusão. Neste texto, serão usadas as métricas SI como o sistema básico de unidades, mas a Tabela 2.1 inclui as unidades imperiais equivalentes. A Tabela A1.3 no Apêndice I fornece os fatores de conversão.

Note na Tabela 2.1 que o peso específico da água γ é definido por:

\gamma = \rho g (2.20)

que é um parâmetro mais adequado do que a densidade ρ para o sistema imperial de unidades, que tem a força como uma das suas dimensões fundamentais.

Tabela 2.1 Dimensões e unidades comuns para parâmetros básicos de água subterrânea*

    Sistema Internacional†
SI
  Sistema Pé-libra-segundo,‡
FPS
Dimensão Símbolo Dimensão Unidades   Dimensão Unidades
Carga hidráulica h [L] m   [L] ft
Carga de pressão ψ [L] m   [L] ft
Carga de elevação z [L] m   [L] ft
Pressão de fluido p [M/LT2] N/m2 or Pa   [F/L2] lb/ft2
Potencial de fluido Φ [L2/T2] m2/s2   [L2/T2] ft2/s2
Densidade de massa ρ [M/L3] kg/m3  
Densidade de peso γ   [F/L3] lb/ft3
Vazão específica v [L/T] m/s   [L/T] ft/s
Condutividade hidráulica K [L/T] m/s   [L/T] ft/s
*Veja também as Tabelas A1.1, A1.2 e A1.3, Apêndice I.
†Dimensões básicas são comprimento [L], massa [M] e tempo [T].
‡Dimensões básicas são comprimento [L], força [F] e tempo [T].

Piezômetros e Piezômetros Multiníveis

O dispositivo básico para medir a carga hidráulica é um tubo ou cano, com o qual a elevação do nível de água pode ser determinada. No laboratório (Figura 2.4), o tubo é um manômetro; no campo (Figura 2.5), o tubo é chamado de piezômetro. Um piezômetro deve ser selado ao longo de seu comprimento. Deve estar aberto na parte inferior para o fluxo de água e aberto no topo para a atmosfera. A entrada é, geralmente, uma porção de tubo ranhurado  disponível comercialmente. A abertura deve ser tal que permita a entrada de água mas não dos grãos de areia ou de partículas de argila que compõem a formação geológica. Deve ser enfatizado que o ponto de medição num piezômetro é o da sua base, e não o do nível da superfície do fluido. Pode-se imaginar o funcionamento de um piezômetro bem parecido ao de um termômetro. É, simplesmente, o instrumento, se é que pode ser chamado assim, usado para se determinar o valor de h, em algum ponto P, num reservatório de água subterrânea. Nos últimos anos, um piezômetro comum tem sido substituído em algumas aplicações por concepções mais complexas que utilizam transdutores de pressão, dispositivos pneumáticos e componentes eletrônicos.

Os piezômetros normalmente são instalados em grupos, de modo que eles possam ser utilizados para se determinar as direções de fluxo da água subterrânea. Na Figura 2.6 (a), três piezômetros interceptam uma formação geológica saturada. É um exercício útil remover os instrumentos de medição do diagrama Figura 2.6 (b) e considerar apenas os valores medidos. O fluxo é da maior carga h para a menor, neste caso da direita para a esquerda. Se a distância entre os piezômetros for conhecida, o gradiente hidráulico dh/dl pode ser calculado; e se a condutividade hidráulica K da formação geológica for conhecida, a lei de Darcy pode ser usada para calcular a vazão específica (ou taxa volumétrica de fluxo através de qualquer área de seção transversal perpendicular à direção de fluxo).

Figura 2.6 Determinação de gradientes hidráulicos de piezômetros instalados.

As vezes, o gradiente de potencial vertical é o que é de interesse. Em alguns casos, um piezômetro multinível é utilizado, com dois ou mais piezômetros instalados lado a lado no mesmo local (ou, possivelmente, no mesmo furo), cada um a uma profundidade diferente e, eventualmente, numa formação geológica diferente. A Figura 2.6 (c) e (d) mostra um piezômetro multinível numa região de fluxo ascendente de água.

A distribuição de cargas hidráulicas em um sistema de água subterrânea é espacialmente tridimensional. Os agrupamentos de piezômetros mostrados na Figura 2.6 apenas provam a existência de componentes de fluxo nas direções indicadas. Se um grande número de piezômetros pudesse ser distribuído por todo o sistema hidrogeológico tridimensional, então, seria possível desenhar o contorno das posições onde as cargas hidráulicas são iguais.

Em três dimensões, o lugar desses pontos constitui uma superfície equipotencial. Em qualquer seção transversal bidimensional, seja horizontal, vertical, ou outra qualquer, os contornos das superfícies equipotenciais na seção são chamados de linhas equipotenciais. Se o padrão de cargas hidráulicas é conhecido em uma seção transversal, linhas de fluxo podem ser construídas perpendicularmente às linhas equipotenciais (no sentido do máximo gradiente de potencial). O conjunto resultante das linhas equipotenciais e linhas de fluxo que se interceptam é conhecido como rede de fluxo. O Capítulo 5 fornece instruções mais detalhadas sobre a construção de redes de fluxo e no Capítulo 6 será mostrada a sua utilidade na interpretação do fluxo de água subterrânea regional.

Fluxo Acoplado

Existe hoje uma grande quantidade de evidências experimentais e teóricas para mostrar que a água pode ser induzida a fluir através de um meio poroso sob a influência de gradientes diferentes dos da carga hidráulica. Por exemplo, a presença de um gradiente de temperatura pode causar fluxo de água subterrânea (bem como o fluxo de calor), mesmo quando não existem gradientes hidráulicos (Gurr et al., 1952; Philip & de Vries, 1957). Este componente torna-se importante na formação de cunhas de congelamento no solo (Hoekstra, 1966; Harlan, 1973).

Um gradiente elétrico pode criar um fluxo de água de alta tensão para baixa tensão quando as correntes telúricas são aplicadas em um solo. O mecanismo de fluxo envolve uma interação na água entre íons carregados e a carga elétrica associada com os minerais de argila no solo (Casagrande, 1952). O princípio é usado em mecânica de solos na abordagem eletrocinética para drenagem do solo (Terzaghi & Peck, 1967).

Gradientes químicos podem causar fluxo de água (bem como o movimento de constituintes químicos através da água) de regiões onde a água tem maior salinidade para regiões onde há menor salinidade, mesmo na ausência de outros gradientes. O papel dos gradientes químicos na produção de água é relativamente pouco importante, mas a sua influência direta sobre o movimento de componentes químicos é de grande importância na análise da contaminação das águas subterrâneas. Esses conceitos virão à tona nos Capítulos 3, 7 e 9.

Se cada um desses gradientes desempenha um papel na produção de fluxo, uma lei de fluxo mais geral do que a Eq. (2.3) pode ser escrita sob a forma:

v = -L_1\frac{dh}{dl} - L_2\frac{dT}{dl} - L_3\frac{dc}{dl} (2.21)

onde h é a carga hidráulica, T é a temperatura e c é a concentração química; L1, L2 e L3 são constantes de proporcionalidade. Para efeitos de discussão, será definido dc/dl = 0. Fica-se com a situação onde o fluxo de fluido está ocorrendo em resposta tanto para um gradiente de carga hidráulica quanto para um gradiente de temperatura:

v = -L_1\frac{dh}{dl} - L_2\frac{dT}{dl} (2.22)

Em geral, L1 dh/dl \gg dT/dl.

Se um gradiente de temperatura pode causar tanto fluxo de fluido como fluxo de calor em um meio poroso, não deveria causar surpresa que um gradiente hidráulico possa causar fluxo de calor, bem como fluxo de fluido. Esta interdependência mútua é um reflexo do bem conhecido conceito termodinâmico de fluxo acoplado. Considerando dh/dl = i1, and dT/dl = i2, pode-se escrever um par de equações baseadas na Eq. (2.22):

v_1 = -L_{11}i_1 - L_{12}i_2 (2.23)

v_2 = -L_{21}i_1 - L_{22}i_2 (2.24)

onde v1 é a vazão específica de fluido através do meio e v2 é a vazão específica de calor através do meio. Os L’s são conhecidos como coeficientes fenomenológicos. Se L12 = 0 na Eq. (2.23), tem-se a Lei de Darcy de fluxo de águas subterrâneas e L11 é a condutividade hidráulica. Se L21 = 0 na Eq. (2.24), tem-se a Lei de Fluxo de Calor de Fourier e L22 é a condutividade térmica.

É possível escrever-se um sistema completo de equações. O sistema de equações teria a forma da Eq. (2.23) mas envolveriam todos os gradientes da Eq. (2.21) e eventualmente outros. O desenvolvimento da teoria do fluxo acoplado em meio poroso foi iniciado por Taylor & Cary (1964). Olsen (1969) desenvolveu uma pesquisa experimental significativa. Bear (1972) oferece um desenvolvimento mais detalhado dos conceitos do que pode ser tentado aqui. A descrição termodinâmica da física do fluxo de meios porosos é conceitualmente poderosa, mas na prática, existem muito poucos dados sobre a natureza dos coeficientes de fora da diagonal da matriz de coeficientes fenomenológicos Lij. Neste texto será assumido que o fluxo de água subterrânea é totalmente descrito pela Lei de Darcy [Eq. (2.3)]; que a carga hidráulica [Eq. (2.18)], com as suas componentes de elevação e de pressão, é uma representação adequada da carga total; e que a condutividade hidráulica é o único coeficiente fenomenológico importante na Eq. (2.21).

2.3 Condutividade Hidráulica e Permeabilidade

Como Hubbert (1956) apontou, a constante de proporcionalidade na Lei de Darcy, que foi batizada de condutividade hidráulica, é uma função não só do meio poroso, mas também do fluido. Considere-se, mais uma vez, o aparato experimental da Figura 2.1. Se Δh e Δl são mantidos constantes durante dois ensaios usando a mesma areia, mas a água é o fluido no primeiro ensaio e melaço é o fluido no segundo, não seria surpresa perceber que a vazão específica v é muito menor no segundo ensaio do que no primeiro. Sendo assim, seria instrutivo procurar por um parâmetro que pudesse descrever as propriedades condutivas de um meio poroso independentemente do fluido que flui através dele.

Para este fim, foram realizadas experiências com meio poroso ideal consistindo de esferas de vidro de diâmetro uniforme d. Quando vários fluidos de densidade ρ e viscosidade dinâmica μ são colocados através do aparato experimental sob uma gradiente hidráulico constante dh/dl, as seguintes relações de proporcionalidade são observadas:

v \propto d^2

v \propto \rho g

v \propto \frac{1}{\mu}

Juntamente com a observação original de Darcy que v ∝ – dh/dl, essas três relações levam a uma nova versão da Lei de Darcy:

v = -\frac{Cd^2\rho g}{\mu}\frac{dh}{dl} (2.25)

O parâmetro C é ainda outra constante de proporcionalidade. Para solos reais, deve se incluir a influência de outras propriedades do meio que afetam o fluxo, além do diâmetro médio de grãos: por exemplo, a distribuição da granulometria, a esfericidade e arredondamento dos grãos e a natureza do seu empacotamento.

A comparação da Eq. (2.25) com a equação original de Darcy [Eq. (2.3)] mostra que:

K = \frac{Cd^2\rho g}{\mu} (2.26)

Nessa equação, ρ e μ são funções exclusivas do fluido e Cd2 é função exclusiva do meio. Se se definir:

k = Cd^2 (2.27)

então,

K = \frac{k\rho g}{\mu} (2.28)

O parâmetro k é conhecido como a permeabilidade específica ou intrínseca. Se K é sempre chamado de condutividade hidráulica, é seguro deixar os adjetivos de lado e referir-se a k simplesmente como permeabilidade. Esta será a convenção a ser seguida neste texto, mas que pode levar a alguma confusão, especialmente quando se lida com textos mais antigos e relatórios onde a condutividade hidráulica K é, às vezes, chamada de coeficiente de permeabilidade.

Hubbert (1940) desenvolveu as Eqs. (2.25) até (2.28) a partir de princípios fundamentais considerando as relações entre forças motrizes e de resistência em uma escala microscópica durante o fluxo através de meio poroso. As considerações dimensionais inerentes na sua análise forneceram a ideia de se incluir neste texto a constante g na relação de proporcionalidade que levou à Eq. (2.25). Desta forma, C aparece como uma constante adimensional.

A permeabilidade k é uma função apenas do meio e tem dimensões [L2]. O termo é amplamente utilizado na indústria do petróleo, onde a existência de gás, óleo e água em sistemas de fluxo multifásicos fazem com que a utilização de um parâmetro de condutância independente do fluido seja atraente. Quando medido em m2, ou cm2, k é muito pequeno, então engenheiros de petróleo definiram darcy como uma unidade de permeabilidade. Se a Eq. (2.28) for substituída na Eq. (2.3), a Lei de Darcy torna-se:

v = \frac{-k\rho g}{\mu}\frac{dh}{dl} (2.29)

Referindo-se a esta equação, 1 darcy é definido como a permeabilidade que conduzirá a uma vazão específica de 1 cm/s para um fluido com uma viscosidade de 1 cp sob um gradiente hidráulico que faz com que o termo ρg dh/dl seja igual a 1 atm/cm. Um darcy é aproximadamente igual a 10-8 cm2.

Na indústria de água subterrânea norte-americana, a unidade gal/dia/ft2 é amplamente utilizada para a condutividade hidráulica. Sua relevância é mais evidente quando a Lei de Darcy é expressa nos termos da Eq. (2.4):

Q = -K\frac{dh}{dl}A

As primeiras definições fornecidas pelos Serviço Geológico Americano, no que diz respeito a esta unidade, faziam distinção entre um coeficiente de laboratório e um coeficiente de campo. No entanto, uma atualização destas definições (Lohman, 1972) descartou esta diferenciação formal. É suficiente notar que as diferenças na temperatura de medição entre os ambientes de campo e de laboratório podem influenciar os valores de condutividade hidráulica através do termo da viscosidade na Eq. (2.28). O efeito é, geralmente, pequeno, assim, os fatores de correção raramente são introduzidos. Faz muito sentido ainda relatar se as medições de condutividade hidráulica foram realizadas em laboratório ou em campo porque os métodos de medição são muito diferentes e as interpretações sobre os valores podem ser dependentes do tipo de medição. No entanto, esta informação é de importância prática e não conceitual.

A Tabela 2.2 indica o intervalo de valores de condutividade hidráulica e permeabilidade em cinco sistemas de unidades diferentes para um amplo intervalo de materiais geológicos. A tabela é baseada, em parte, nos dados resumidos da revisão de Davis (1969). A principal conclusão que pode-se tirar dos dados é que a condutividade hidráulica varia ao longo de um intervalo muito amplo. Existem poucos parâmetros físicos na natureza que variam em mais de 13 ordens de grandeza. Em termos práticos, esta propriedade implica dizer que o conhecimento da ordem de grandeza da condutividade hidráulica pode ser muito útil. Por outro lado, reportar valores da terceira casa decimal em um valor de condutividade tem provavelmente pouca importância.

A Tabela 2.3 fornece um conjunto de fatores de conversão para as várias unidades comuns de k e K. Como um exemplo da sua utilização, note que um valor k em cm2 pode ser convertido para um valor em ft2 multiplicando por 1,08 × 10-3. Para a conversão inversa de ft2 para cm2, multiplique por 9,29 × 102.

Tabela 2.2 Intervalos de Valores de Condutividade Hidráulica e de Permeabilidade

Tabela 2.3 Fatores de Conversão para Unidades de Permeabilidade e Condutividade Hidráulica

Permeabilidade, k* Condutividade hidráulica, K
cm2 ft2 darcy m/s ft/s EUA gal/dia/ft2
cm2 1 1,08 × 10–3 1,01 × 108 9,80 × 102 3,22 × 102 1,85 × 109
ft2 9,29 × 102 1 9,42 × 1010 9,11 × 105 2,99 × 106 1,71 × 1012
darcy 9,87 × 10–9 1,06 × 10–11 1 9,66 × 10–6 3,17 × 10–5 1,82 × 101
m/s 1,02 × 10–3 1,10 × 10–6 1,04 × 105 1 3,28 2,12 × 106
ft/s 3,11 × 10–4 3,35 × 10–7 3,15 × 104 3,05 × 10–1 1 6,46 × 105
U.S. gal/dia/ft2 5,42 × 10–10 5,83 × 10–13 5,49 × 10–2 4,72 × 10–7 1,55 × 10–6 1
*Para obter k em ft2, multiplicar k em cm2 by 1,08 × 10–3.

As várias abordagens para se medir a condutividade hidráulica, tanto em laboratório quanto em campo, são descritas nas Seções de 8.4 a 8.6.

2.4 Heterogeneidade e Anisotropia da Condutividade Hidráulica

Valores de condutividade hidráulica geralmente mostram variações no espaço dentro de uma formação geológica. Também podem apresentar variações com a direção de medição em qualquer ponto em uma formação geológica. A primeira propriedade é denominada heterogeneidade e a segunda anisotropia. A evidência de que estas propriedades são comuns pode ser encontrada na ampla distribuição de determinações que se observa na maior parte das campanhas de amostragem de campo. O raciocínio geológico que explica sua prevalência encontra-se em uma compreensão dos processos geológicos que produzem os vários ambientes geológicos.

Homogeneidade e Heterogeneidade

Se a condutividade hidráulica K é independente da posição dentro de uma formação geológica, a formação é homogênea. Se a condutividade hidráulica K é dependente da posição dentro de uma formação geológica, então a formação é heterogênea. Montando-se um sistema de coordenadas xyz em uma formação homogênea, K(x, y, z) = C, C sendo uma constante; ao passo que em uma formação heterogênea, K(x, y, z) ≠ C.

Há provavelmente tantos tipos de configurações heterogêneas como há ambientes geológicos, mas pode ser instrutivo prestar atenção a três grandes classes. A Figura 2.7 (a) apresenta uma seção transversal vertical que mostra um exemplo de heterogeneidade de camadas, comum em rochas sedimentares e depósitos lacustres e marinhos não consolidadas. Cada uma das camadas individuais que constituem a formação tem um valor de condutividade homogênea K1, K2, . . . , mas todo o sistema pode ser pensado como heterogêneo. A heterogeneidade de camadas pode resultar em contrastes de K alcançando quase o intervalo completo de 13 ordem de grandeza (Tabela 2.2), como, por exemplo, em depósitos com intercalações de argila e areia. Contrastes igualmente grandes podem surgir em casos de heterogeneidades descontínuas causados pela presença de falhas ou características estratigráficas de grande escala. Talvez a característica de descontinuidade mais onipresente é o contato sedimentos-embasamento. A Figura 2.7 (b) apresenta um mapa que mostra um caso de tendência de heterogeneidade. Tendências são possíveis em qualquer tipo de formação geológica, mas elas são particularmente comuns como resultado de processos de sedimentação que formam deltas, leques aluviais e planícies glaciais. Os horizontes de solo A, B e C frequentemente mostram tendências verticais na condutividade hidráulica, assim como os tipos de rocha cuja condutividade depende principalmente de concentrações de juntas e fraturas. Tendência de heterogeneidade em grandes formações sedimentares consolidadas ou inconsolidadas podem atingir gradientes de 2–3 ordens de grandeza em alguns quilômetros.

Muitos hidrogeólogos e geólogos de petróleo usam as distribuições estatísticas para fornecer uma descrição quantitativa do grau de heterogeneidade em uma formação geológica. Existe atualmente um grande conjunto de evidências diretas que sustentam a afirmação de que a função densidade de probabilidades para a condutividade hidráulica é log-normal. Warren & Price (1961) e Bennion e Griffiths (1966) descobriram que isso acontece em rochas-reservatório de campos petrolíferos, e Willardson & Hurst (1965) e Davis (1969) corroboram esta conclusão para formações saturadas não consolidadas. Uma distribuição log-normal para K é um parâmetro para os quais um Y, definido como Y = log K, mostra uma distribuição normal. Freeze (1975) fornece uma tabela, com base nas referências acima, que mostra que o desvio padrão em Y (que é independente das unidades de medição) está geralmente compreendida entre 0,5–1,5. Isto significa que os valores de K na maioria das formações geológicas mostram variações heterogêneas internas de 1–2 ordens de grandeza. A tendência de heterogeneidade dentro de uma formação geológica pode ser pensada como uma tendência de valor médio da distribuição de probabilidade. O mesmo desvio padrão pode ser evidente em medidas em posições diferentes na formação, mas as médias de tendência levam a um aumento do intervalo global observado para a formação.

Greenkorn & Kessler (1969) forneceram um conjunto de definições de heterogeneidade que são consistentes com as observações estatísticas. Na verdade, eles argumentam que se todas as formações geológicas exibem variações espaciais em K então, sob as definições clássicas, não existe formação homogênea. Eles redefinem formação homogênea como sendo onde a função densidade de probabilidade da condutividade hidráulica é monomodal. Isto é, mostra variações em K, mas mantém uma média constante de K através do espaço. Uma formação heterogênea é definida como aquela onde a função densidade de probabilidade é multimodal. Para descrever um meio poroso que satisfaça a definição clássica de homogeneidade (K constante em todos os lugares, tal como em esferas de vidro experimentais de diâmetro d), eles usam o termo uniforme. Se fosse preciso adaptar as definições clássicas dadas no início desta seção para este conjunto mais racional de conceitos, pode-se adicionar o adjetivo “média” e exprimir as definições originais em termos de condutividade hidráulica média.

Figura 2.7 Heterogeneidade de camada and tendência de heterogeneidade.

Isotropia e Anisotropia

Se a condutividade hidráulica K é independente da direção de medição num ponto em uma formação geológica, a formação é isotrópica naquele ponto. Se a condutividade hidráulica K varia de acordo com a direção de medição num ponto em uma formação geológica, a formação é anisotrópica naquele ponto.

Considere uma seção bidimensional vertical através de uma formação anisotrópica. Considerando que θ seja o ângulo entre a horizontal e a direção de medição de K em algum ponto na formação, então K = K(θ). As direções no espaço correspondentes ao ângulo θ nos quais K alcança o seu valor máximo e mínimo são conhecidas como direções principais de anisotropia. Elas são sempre perpendiculares entre si. Em três dimensões, dado um plano perpendicular a uma das direções principais, as outras duas direções principais serão as direções de K máximo e mínimo nesse plano.

Se um sistema de coordenadas xyz é configurado de tal maneira que as direções de coordenadas coincidam com as direções principais de anisotropia, então, os valores de condutividade hidráulica nas direções principais podem ser especificadas como Kx, Ky e Kz. Em qualquer ponto (x, y, z), uma formação isotrópica terá  Kx = Ky = Kz, enquanto que uma formação anisotrópica terá KxKyKz. Se Kx = KyKz, como é comum nos depósitos sedimentares horizontalmente estratificados, a formação é considerada como transversalmente isotrópica.

Para descrever a natureza da condutividade hidráulica em uma formação geológica é necessária a utilização de dois adjetivos: um ligado à heterogeneidade e outro à anisotropia. Por exemplo, para um sistema homogêneo e isotrópico em duas dimensões: Kx(x, z) = Kz(x, z) = C para todos (x, z), onde C é uma constante. Para um sistema homogêneo e anisotrópico Kx(x, z) = C1 para todos (x, z) e Kz(x, z) = C2 para todos (x, z), mas C1C2. A Figura 2.8 esclarece ainda mais as quatro combinações possíveis. O comprimento dos vetores da seta é proporcional aos valores Kx e Kz para os dois pontos (x1, z1) e (x2, z2).

Figura 2.8 Quatro possibilidades de combinações de heterogeneidade e anisotropia.

Figura 2.9 Relação entre heterogeneidade e anisotropia estratificada.

A principal causa da anisotropia em pequena escala é a orientação de minerais de argila em rochas sedimentares e sedimentos inconsolidados. Amostras de testemunhos de argilas e de xistos raramente mostram anisotropia horizontal para vertical superior a 10:1, sendo, geralmente, inferior a 3:1.

Em uma escala maior, pode se demonstrar (Maasland, 1957, Marcus & Evenson, 1961) que existe uma relação entre heterogeneidade estratificada e anisotropia. Considere a formação estratificada mostrada na Figura 2.9. Cada camada é homogênea e isotrópica com valores de condutividade hidráulica K1, K2, . . . . , Kn. Será demonstrado que o sistema como um todo age como uma única camada homogênea e anisotrópica. Primeiro, considere o fluxo perpendicular à estratificação. A vazão específica v deve ser a mesma na entrada do sistema como na saída; na verdade, deve ser constante em todo o sistema. Considere Δh1 como sendo a perda de carga através da primeira camada, Δh2 através da segunda camada, e assim por diante. A perda total de carga é, então, Δh = Δh1 + Δh2 + . . . + Δhn, e da Lei de Darcy:

v = \frac{K_1\Delta h_1}{d_1} = \frac{K_2\Delta h_2}{d_2} = ... = \frac{K_n\Delta h_n}{d_n} = \frac{K_z\Delta h}{d} (2.30)

onde Kz é uma condutividade hidráulica vertical equivalente para o sistema de camadas. Resolvendo a relação externa da Eq. (2.30) para Kz e usando as relações de dentro para Δh1, Δh2, . . . , obtém-se:

K_z = \frac{vd}{\Delta h} = \frac{vd}{\Delta h_1 + \Delta h_2 + ... \Delta h_n} =  \frac{vd}{vd_1/K_1+vd_2/K_2+...+vd_n/K_n}

o que leva a:

K_z = \frac{d}{\sum_{i=1}^n\frac{d_i}{K_i}} (2.31)

Agora considere o fluxo paralelo à estratificação. Considere Δh como sendo a perda de carga através de uma distância horizontal l. A vazão Q através de uma espessura unitária do sistema é a soma das descargas através das suas camadas. A vazão específica v = Q/d é, assim, dada por:

v = \displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{K_id_i}{d}\frac{\Delta h}{l} = K_x\frac{\Delta h}{l}

onde Kx é uma condutividade hidráulica horizontal equivalente. Simplificando:

K_x = \sum_{i=1}^n\frac{K_id_i}{d} (2.32)

As Equações (2.31) e (2.32) fornecem os valores de Kx e de Kz para uma única formação homogênea, mas anisotrópica, que é hidraulicamente equivalente ao sistema estratificado da formação geológica homogênea e isotrópica da Figura 2.9. Com alguma manipulação algébrica destas duas equações é possível demonstrar que Kx > Kz para todos os conjuntos possíveis de valores de K1, K2, . . . , Kn. De fato, se se considerar um conjunto de pares cíclicos K1, K2, K1, K2, . . . com K1 = 104 e K2 = 102, então, Kx/Kz = 25. Para K1 = 104 e K2 = 1, Kx/Kz = 2500. Em campo, não é raro que a heterogeneidade estratificada leve a valores de anisotropia regional da ordem de 100:1, ou até maiores.

Snow (1969) mostrou que as rochas fraturadas também se comportam anisotropicamente devido a variações direcionais em aberturas e em espaçamento de fraturas. Neste caso, é bastante comum que Kz > Kx.

Lei de Darcy em Três Dimensões

Para fluxo tridimensional num meio que pode ser anisotrópico é necessário generalizar a forma unidimensional da Lei de Darcy [Eq. (2.3)] apresentada anteriormente. Em três dimensões, a velocidade v é um vetor com componentes vx, vy e vz, e a generalização mais simples seria:

v_x =-K_x\frac{\partial h}{\partial x}

v_y =-K_y\frac{\partial h}{\partial y} (2.33)

v_z =-K_z\frac{\partial h}{\partial z}

onde Kx, Ky e Kz são valores de condutividade hidráulica das direções x, y e z. Posto que h agora é uma função dex, y e z, as derivadas devem ser parciais.

Neste texto será assumida que essa simples generalização é uma descrição adequada do fluxo tridimensional, mas vale a pena notar que um sistema de equações  mais generalizado pode ser escrito na forma de:

v_x = -K_{xx}\frac{\partial h}{\partial x} - K_{xy}\frac{\partial h}{\partial y} - K_{xz}\frac{\partial h}{\partial z}

v_y = -K_{yx}\frac{\partial h}{\partial x} - K_{yy}\frac{\partial h}{\partial y} - K_{yz}\frac{\partial h}{\partial z} (2.34)

v_x = -K_{zx}\frac{\partial h}{\partial x} - K_{zy}\frac{\partial h}{\partial y} - K_{zz}\frac{\partial h}{\partial z}

Esse sistema de equações expõe o fato de que há realmente nove componentes de condutividade hidráulica para o caso mais geral. Se esses componentes forem colocados em forma de matriz, eles formam um tensor simétrico de segunda ordem conhecido como o tensor de condutividade hidráulica (Bear, 1972). No caso especial Kxy = Kyx = Kyz = Kzx = Kzy  = 0, os nove componentes se reduzem para três e a Eq. (2.33) será uma generalização adequada da Lei de Darcy. A condição necessária e suficiente que permite o uso da Eq. (2.33), em vez da Eq. (2.34), é que as direções principais de anisotropia coincidem com os eixos das coordenadas x, y e z. Na maioria dos casos, é possível escolher um sistema de coordenadas que satisfaz este requisito, mas é possível conceber sistemas anisotrópicos heterogêneos onde as direções principais de anisotropia variam de uma formação para a outra e, em tais sistemas, a escolha dos eixos apropriados seria impossível.

Elipsóide da Condutividade Hidráulica

Considere uma linha de fluxo arbitrária no plano xz em um meio homogêneo, anisotrópico e com condutividades hidráulicas principais Kx e Kz [Figura 2.10 (a)].

Figura 2.10 (a) Vazão específica vs em uma direção arbitrária de fluxo. (b) Elipse da condutividade hidráulica.

Ao longo da linha de fluxo:

v_s = - K_s\frac{\partial h}{\partial s} (2.35)

onde Ks é desconhecida, embora presumivelmente encontra-se no intervalo KxKz. Pode-se separar vx nos seus componentes vx e vz, onde:

v_x = -K_x\frac{\partial h}{\partial x} = v_s \cos \theta
(2.36)

v_z = -K_z\frac{\partial h}{\partial z} = v_s \sin \theta

Então, sendo h = h(x, z),

\frac{\partial h}{\partial s} = \frac{\partial h}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial h}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial s}(2.37)

Geometricamente, ∂x/∂s = cos θ e ∂z/∂s = sin θ. Substituindo essas relações junto com as Eqs. (2.35) e (2.36) na Eq. (2.37) e simplificando, produz-se:

\frac{1}{K_s} = \frac{\cos^2 \theta}{K_x} + \frac{\sin^2 \theta}{K_z} (2.38)

Esta equação relaciona os principais componentes de condutividade Kx e Kz à resultante Ks em qualquer direção angular θ. Colocando-se a Eq. (2.38) em coordenadas retangulares, definindo x = r cos θz = r sen θ, obtém-se:

\frac{r^2}{K_s} = \frac{x^2}{K_x} + \frac{z^2}{K_z} (2.39)

a qual é a equação de uma elipse com os eixos principais \sqrt{K_x} e \sqrt{K_z} [Figura 2.10 (b)]. Em três dimensões, torna-se uma elipsóide com eixos principais \sqrt{K_x}, \sqrt{K_y} e \sqrt{K_z} sendo conhecida como elipsóide da condutividade hidráulica. Na Figura 2.10 (b), o valor de condutividade K para qualquer direção de fluxo num meio anisotrópico pode ser determinado graficamente se Kx e Kz forem conhecidos.

Na Seção 5.1 será discutida a construção de redes de fluxo em meios anisotrópicos e será mostrado que, em contraste com o meio isotrópico, as linhas de fluxo não são perpendiculares às linhas equipotenciais em meios anisotrópicos.

2.5 Porosidade e Índice de Vazio

Se a volume unitário total VT de um solo ou rocha for dividido em volume da parte sólida Vs e volume de vazios Vv, a porosidade n será definida como n = Vv/VT. Geralmente, a porosidade é relatada em fração decimal ou em porcentagem.

A Figura 2.11 mostra a relação entre diferentes rochas e texturas de solo e porosidade. É importante diferenciar o que é porosidade primária, relacionada à matriz do solo ou da rocha [Figura 2.11 (a), (b), (c) e (d)] e porosidade secundária, que pode estar relacionada a fenômenos como solução secundária [Figura 2.11 (e)] ou fraturamento regional controlado estruturalmente [Figura 2.11 (f)].

Figura 2.11 Relação entre textura e porosidade. (a) Depósito sedimentar bem selecionado, com alta porosidade; (b) depósito sedimentar pobremente selecionado, com baixa porosidade; (c) depósito sedimentar bem selecionado consistindo de seixos que são eles próprios poros, então o depósito como um todo possui altíssima porosidade; (d) depósito sedimentar bem selecionado, onde a porosidade tem sido diminuída pela deposição de matéria mineral em seus interstícios; (e) rocha que adquiriu poros por dissolução; (f) rocha que adquiriu poros por fraturamento (Meinzer, 1923).

A Tabela 2.4, baseada em parte nos dados resumidos por Davis (1969), lista os intervalos representativos de porosidade de vários materiais geológicos. Em geral, as rochas têm porosidades mais baixas do que os solos; cascalhos, areias e siltes, que são constituídos por partículas angulares e arredondadas, têm porosidades mais baixas do que solos ricos em minerais placóides de argila; depósitos mal selecionados [Figura 2.11 (b)] têm porosidades mais baixas do que depósitos bem selecionados [Figura 2.11 (a)].

Tabela 2.4 Intervalo de Valores de Porosidade

n(%)
Depósitos inconsolidados
Cascalho 25–40
Areia 25–50
Silte 35–50
Argila 40–70
Rochas
Basalto fraturado 5–50
Calcário carstificado 5–50
Arenito 5–30
Calcário, dolomito 0–20
Xisto 0–10
Rocha cristalina fraturada 0–10
Rocha cristalina densa 0–5
Fonte: Davis, 1969.

A porosidade n pode ser um importante controlador na condutividade hidráulica K. Em campanhas de amostragem realizadas em depósitos de areias bem selecionadas, ou em formações de rochas fraturadas, amostras com valores altos de n geralmente também têm valores altos de K. Infelizmente essa relação não é mantida em uma bacia regional através do espectro de possíveis tipos de rocha e de solo. Solos ricos em argila, por exemplo, geralmente têm porosidades mais elevadas do que em solos arenosos ou cascalho, porém menor condutividade hidráulica. Na Seção 8.7 serão apresentadas técnicas para a estimativa da condutividade hidráulica a partir da porosidade e da análise granulométrica.

A porosidade n está intimamente relacionada com o índice de vazios e, que é amplamente utilizado em mecânica de solos. O índice de vazios é definido como e = Vv/Vs, e e está relacionado a n por:

e = \frac{n}{1-n} \hspace{1cm} \text{ou} \hspace{1cm} n = \frac{e}{1+e} (2.40)

Os valores de e geralmente caem no intervalo 0-3.

A determinação em laboratório da porosidade em amostras de solo será tratada na Seção 8.4.

2.6 Fluxo Insaturado e Nível Freático

Até este ponto, a Lei de Darcy e os conceitos de carga hidráulica e condutividade hidráulica foram desenvolvidos em relação a um meio poroso saturado, isto é, onde todos os espaços vazios estão preenchidos por água. É claro que em alguns solos, especialmente aqueles próximos da superfície, raramente são saturados. Os espaços vazios geralmente são preenchidos parcialmente por água, enquanto que o restante dos poros são ocupados por ar. O fluxo da água sob tais condições é denominado de insaturado ou parcialmente saturado. Historicamente, o estudo de fluxos insaturados tem sido domínio de físicos de solo e engenheiros agrônomos, mas recentemente os cientistas de solo e hidrólogos de águas subterrâneas reconheceram a necessidade de reunir os seus talentos no desenvolvimento de uma abordagem integrada para o estudo em subsuperfície, tanto em regiões saturadas como insaturadas.

A ênfase nesta seção será no sistema hidráulico de transporte de água em fase líquida na zona insaturada. Não será discutido o transporte na fase de vapor, nem as interações solo-água-planta. Estes últimos temas são de particular interesse na agronomia e desempenham um papel importante na interpretação da geoquímica de solos. Uma consideração mais detalhada da física e da química da transferência de umidade em solos insaturados podem ser encontradas em um nível introdutório em Baver et al. (1972), e em um nível mais avançado em Kirkham & Powers (1972) e Childs (1969).

Teor de Umidade

Se o volume unitário total VT de um solo ou rocha é separado em volume da parte sólida Vs, volume da água Vw e volume de ar Va, o teor volumétrico de umidade é definido como θ = Vw/VT. Tal como a porosidade n, θ é geralmente reportado em fração decimal ou em porcentagem. Para fluxo saturado, θ = n; para fluxo insaturado, θ < n.

Nível Freático

A configuração hidrológica mais simples das condições saturadas e insaturadas é a de uma zona insaturada na superfície e uma zona saturada em profundidade [Figura 2.12 (a)]. É comum imaginar o nível freático como sendo a fronteira entre essas duas zonas, entretanto é preciso atentar para o fato de que a franja capilar saturada encontra-se normalmente acima do nível freático. Com esta complicação sob a superfície, deve-se ter o cuidado de criar-se um conjunto coerente de definições para os vários conceitos sobre zonas saturadas e insaturadas.

O nível freático é melhor definido como a superfície onde a pressão de fluido p nos poros de um meio poroso é exatamente a atmosférica. A localização desta superfície é revelada pelo nível em que a água se encontra em um poço raso aberto ao longo do seu comprimento que intercepte somente em profundidade suficiente depósitos superficiais para acumular água em seu interior. Se p é medido na pressão manométrica, então, no nível freático, p = 0. Isto implica em ψ = 0, e uma vez que h = ψ + z, a carga hidráulica em qualquer ponto no nível freático deve ser igual à elevação z do nível freático naquele ponto. Em figuras muitas vezes indica-se a posição do nível freático por meio de um pequeno triângulo invertido, como na Figura 2.12 (a).

Cargas de Pressão Negativas e Tensiômetros

Foi visto que ψ > 0 na zona de saturação (como indicado por medições em piezômetros) e que ψ = 0 no nível freático. Isso indica ψ < 0 na zona insaturada. Isso reflete o fato de que a água na zona insaturada é mantida nos poros do solo sob forças de tensão superficial. Uma inspeção microscópica revelaria um menisco côncavo que se estende de grão a grão em cada canal de poro [como mostrado na inserção circular superior na Figura 2.12 (c)]. O raio de curvatura em cada menisco reflete a tensão superficial naquela interface microscópica ar-água. Em referência a este mecanismo físico de retenção de água, os físicos de solo muitas vezes chamam a carga de pressão ψ, quando ψ < 0, de carga de tensão ou carga de sucção. Neste texto, onde os fundamentos nos quais um conceito merece apenas um nome, será adotado o termo carga de pressão para se referir tanto a valores positivos quanto negativos de ψ.

Independentemente do sinal de ψ, a carga hidráulica h ainda é igual à soma algébrica de ψ e z. No entanto, acima do nível freático, onde ψ < 0, piezômetros já não são um instrumento adequado para a medição de h. Em vez disso, h deve ser obtido indiretamente a partir de medições de ψ determinado com tensiômetros. Kirkham (1964) e S. J. Richards (1965) fornecem descrições detalhadas do projeto e do uso desses instrumentos. Muito brevemente, um tensiômetro consiste em uma cápsula porosa ligada a um tubo  cheio de água e hermeticamente fechado. A cápsula porosa é inserida no solo na profundidade desejada, onde entra em contato com a água do solo e atinge o equilíbrio hidráulico. O processo de equilíbrio envolve a passagem de água através da cápsula porosa do tubo para o solo. O vácuo relativo criado na parte superior do tubo hermético é a medida da carga de pressão no solo. Normalmente é medida por um manômetro de vácuo ligado ao tubo acima da superfície do solo, mas que pode ser imaginado funcionando como o manômetro invertido mostrado para o ponto 1 no perfil do solo da Figura 2.12 (c). Para se obter a carga hidráulica h, o valor negativo de ψ indicado pelo manômetro de vácuo no tensiômetro deve ser adicionado algebricamente à elevação z do ponto de medição. Na Figura 2.12 (c), o instrumento no ponto 1 é um tensiômetro; o outro no ponto 3 é um piezômetro. O diagrama é, obviamente, esquemático. Na prática, o tensiômetro seria um tubo com um manômetro e uma cápsula porosa na base; o piezômetro seria um tubo aberto com tubo ranhurado na base.

Figura 2.12 Condições de água subterrânea próximas da superfície do solo. (a) zonas saturadas e insaturadas; (b) perfil de teor de umidade versus profundidade; (c) relações entre carga de pressão e carga hidráulica; retenção de água sob cargas de pressão menores (topo) e maiores que (base) a atmosfera; (d) perfil da carga de pressão versus profundidade; (e) perfil da carga hidráulica versus profundidade.

Curvas Características de Parâmetros Hidráulicos Insaturados

Existe uma complicação adicional para a análise de fluxo na zona insaturada. Tanto o teor de umidade θ quanto a condutividade hidráulica K são funções da carga de pressão ψ. Refletindo sobre isso, a primeira dessas condições não deveria causar grande surpresa. Considerando-se que a umidade do solo é mantida entre os grãos sob forças de tensão superficial que refletem o raio de curvatura de cada menisco, pode-se esperar que os conteúdos mais elevados de umidade levem a maiores raios de curvatura, a forças de tensões superficiais menores e a menores valores de cargas de tensão (i.e., cargas de pressão menos negativas). Além disso, observou-se experimentalmente que a relação θψ é histerética; que há uma forma diferente para quando os solos estão se molhando do que para quando eles estão se secando. A Figura 2.13 (a) mostra a relação funcional histerética entre θ e ψ para uma ocorrência natural de solo arenoso (Liakopoulos, 1965a). Se uma amostra deste solo estivesse saturada a uma carga de pressão maior do que zero e a pressão fosse então diminuída passo a passo até atingisse níveis bem menores que a atmosférica (ψ << 0), os teores de umidade em cada passo seguiriam a curva de drenagem (ou curva de secagem) [Figura 2.13 (a)]. Se a água fosse então adicionada ao solo seco em pequenos passos, as cargas de pressão iriam seguir a rota de retorno ao longo da curva de molhagem (ou curva de embebição). As linhas internas são chamadas de curvas de varredura. Essas curvas mostram o curso onde θ e ψ seguiram se o solo fosse apenas parcialmente umedecido, ou seco, ou vice-versa.

Seria de se esperar que, com base no que foi apresentado até agora, o teor de umidade θ fosse igual à porosidade n para todos os ψ > 0. Para solos de granulometria grosseira, este seria o caso, mas para solos de granulometrias mais finas, esta relação mantém-se ao longo de um intervalo um pouco maior ψ > ψa, onde ψa é uma pequena carga de pressão negativa [Figura 2.13 (a)] conhecida como carga de pressão de entrada de ar. A pressão correspondente pa é chamada de pressão de entrada de ar ou de pressão de borbulhamento.

A Figura 2.13 (b) mostra as curvas histeréticas relacionando a condutividade hidráulica K à carga de pressão ψ para o mesmo solo. Para ψ > ψa, K = K0, onde K0 é conhecida como condutividade hidráulica saturada. Uma vez que K = K(ψ) e 0 = 0(ψ), é também verdade que K = K (θ). As curvas da Figura 2.13 (b) refletem o fato de que a condutividade hidráulica de um solo insaturado aumenta com o aumento do teor de umidade. Escrevendo-se a Lei de Darcy para o fluxo insaturado na direção x em um solo isotrópico como:

v_x = -K(\psi)\frac{\partial h}{\partial x} (2.41)

observa-se que a existência da relação K(ψ) implica que, dado a um gradiente hidráulico constante, a descarga específica v aumentaria com o aumento do teor de umidade.

Na realidade, seria impossível manter o gradiente hidráulico constante enquanto se aumenta o teor de umidade. Posto que h = ψ + z e θ = θ(ψ), a carga hidráulica h também é afetada pelo teor de umidade. Em outras palavras, um gradiente de carga hidráulica infere um gradiente de carga de pressão (exceto em fluxo puramente gravitacional), e esta, por sua vez, infere em um gradiente de teor de umidade. Na Figura 2.12, os perfis verticais para estas três variáveis ​​são mostrados esquematicamente para um caso hipotético de infiltração descendente a partir da superfície. O fluxo deve ser descendente porque as cargas hidráulicas exibidas na Figura 2.12 (e) decrescem nessa direção. Os grandes valores positivos de h inferem que |z| >> |ψ|.

Figura 2.13 Curvas características relacionando condutividade hidráulica e teor de umidade a carga de pressão para uma ocorrência natural de solo arenoso (Liakopoulos, 1965a).

Em outras palavras, o datum z = 0 situa-se a alguma profundidade. Em uma situação real, estes três perfis seriam quantitativamente interligados através das curvas θ(ψ) e K(ψ) para o solo no local. Por exemplo, se a curva θ(ψ) fosse conhecida para o solo e o perfil θ(z) medido no campo, então o perfil ψ(z) e consequentemente o perfil h(z) poderiam ser calculados.

As curvas θ(ψ) e K(ψ) mostradas na Figura 2.13 são características para qualquer tipo de solo. Conjuntos de medidas feitas em amostras separadas do mesmo solo homogêneo mostrariam apenas as variações estatísticas usuais associadas com pontos de amostragem separados espacialmente. As curvas são frequentemente chamadas de curvas características. Na zona saturada, tem-se os dois parâmetros hidráulicos fundamentais K0 e n; na zona insaturada, estes tornam-se as funções K(ψ) e θ(ψ). Mais sucintamente:

\theta = \theta(\psi) \hspace{1cm} \psi < \psi_a
(2.42)

\theta = n \hspace{1cm} \psi \geq \psi_a

K = K(\psi) \hspace{1cm} \psi < \psi_a
(2.43)

K = K_0 \hspace{1cm} \psi \geq \psi_a

A Figura 2.14 mostra algumas curvas características hipotéticas de valores simples (i.e. sem histerese) com o objetivo de mostrar o efeito da textura do solo no formato das curvas. Para uma descrição mais completa da física da retenção de umidade em solos não saturados, o leitor pode consultar White et al. (1971).

Figura 2.14 Curvas características de valores unitários para três solos hipotéticos. (a) areia uniforme; (b) areia siltosa; (c) argila siltosa.

Zonas Saturadas, Insaturadas e Saturadas por Tensão

Vale a pena neste momento resumir as informações sobre zonas saturada e insaturada que foram apresentadas até agora. Para a zona saturada, pode-se afirmar que:

  1. Ocorre abaixo do nível freático.
  2. Os poros do solo são completamente preenchidos por água e o teor de umidade θ é igual à porosidade n.
  3. A pressão de fluido p é maior do que a pressão atmosférica, de modo que a carga de pressão ψ (medida como pressão manométrica) é maior que zero.
  4. A carga hidráulica deve ser medida com um piezômetro,
  5. A condutividade hidráulica K é uma constante; não é uma função da carga de pressão ψ.

Para a zona insaturada (ou, como é por vezes chamado, a zona de aeração ou a zona vadosa):

  1. Ocorre acima do nível freático e da franja capilar.
  2. Os poros do solo são apenas parcialmente preenchidos por água; o teor de umidade θ é menor do que a porosidade n.
  3. A pressão de fluido p é inferior à atmosférica; a carga de pressão ψ é menor do que zero.
  4. A carga hidráulica h deve ser medida com um tensiômetro.
  5. A condutividade hidráulica K e o teor de umidade θ são ambos funções da carga de pressão ψ.

Em suma, para fluxo saturado, ψ > 0, θ = n e K = K0; para fluxo insaturado, ψ < 0, θ = θ(ψ) e K = K(ψ).

A franja capilar não se encaixa em nenhum dos grupos mencionados acima. Os poros na franja estão saturados, mas as cargas de pressão são menores do que a pressão atmosférica. Um nome mais descritivo que ganha mais aceitação é a zona saturada por tensão. Uma explicação de suas propriedades aparentemente anômalas podem ser vistas na Figura 2.13. É a existência da carga de pressão de entrada de ar ψa < 0 nas curvas características que é responsável pela existência de uma franja capilar. ψa é o valor de ψ que existirá na parte superior da zona saturada por tensão, como mostrado por ψa para o ponto A na Figura 2.12 (d). Desde que ψa tenha valores negativos maiores em solos argilosos do que em areias, estes solos de granulometrias mais finas desenvolvem zonas saturadas por tensão mais espessas que solos de granulometrias mais grosseiras.

Alguns autores consideram a zona saturada por tensão como parte da zona saturada, mas, nesse caso, o nível freático já não é a fronteira entre as duas zonas. Do ponto de vista físico, é melhor manter todas as três zonas –  saturada, por tensão e insaturada – na concepção de um sistema hidrológico completo.

Um ponto que emerge diretamente da discussão acima nesta seção pode assegurar uma afirmação específica. Quando as pressões de fluido são menores que a atmosférica, não pode haver escoamento natural para a atmosfera a partir de uma superfície de zona insaturada ou zona saturada por tensão. A água pode ser transferida de uma zona insaturada para a atmosfera via evaporação e transpiração, mas em saídas naturais, tais como nascentes ou entradas em poços, deve vir da zona saturada. O conceito de uma zona de infiltração saturada será vista na Seção 5.5 e a sua importância em relação com a hidrologia de costas inclinadas é enfatizada na Seção 6.5.

Níveis Freáticos Invertidos e Suspensos

A configuração hidrológica simples considerada até agora, com uma única zona insaturada que recobre o principal corpo de água subterrânea saturado, é comum. É regra onde os depósitos geológicos homogêneos estendem-se a alguma profundidade. Ambientes geológicos complexos, por outro lado, podem conduzir a condições saturada-insaturadas mais complexas. A existência de uma camada de argila de baixa permeabilidade em uma formação de areia de alta permeabilidade, por exemplo, pode levar à formação de uma lente saturada descontínua, com condições de insaturação existentes tanto acima como abaixo. Se considerada a linha ABCDA na Figura 2.15 como sendo a isóbara ψ = 0, pode se referir à porção ABC como um nível freático suspenso, e a porção ADC como um nível freático invertido. EF é o verdadeiro nível freático, ou lençol freático.

Figura 2.15 Nível freático suspenso ABC, nível freático invertido ADC e o nível freático verdadeiro EF.

As condições saturadas podem ser descontínuas no tempo, bem como no espaço. Precipitação pesada pode levar à formação de uma zona saturada temporária na superfície do solo e o seu limite inferior ser o nível freático invertido sustentado por condições insaturadas. Zonas saturadas deste tipo dissipam com o tempo sob a influência de percolação e da evaporação na superfície. No Capítulo 6, serão examinadas as interações de precipitação e infiltração em sistemas saturado-insaturados com muito mais detalhe.

Fluxo Multifásico

A abordagem sobre fluxo insaturado descrita nesta seção é a usada quase que universalmente pelos físicos de solo, mas é, em sua essência, um método aproximado. Fluxo insaturado é, na verdade, um caso especial de fluxo multifásico através de meios porosos, com duas fases, o ar e a água, que coexistem nos canais dos poros. Admitindo θw como sendo o conteúdo volumétrico de umidade (anteriormente indicado por θ) e θa como sendo o conteúdo volumétrico de ar, definido de forma análoga a θw. Existem agora duas pressões de fluidos a serem consideradas: pw  para a fase de água e pa para a fase de ar; e duas cargas de pressão, ψw e ψa. Cada solo possui agora duas curvas características de fluido em função do teor da carga de pressão, um para a água, θw(ψw), e uma para o ar, θa(ψa).

Quando se trata de relações de condutividade faz sentido trabalhar com o permeabilidade k [Eq. (2.28)] em vez da condutividade hidráulica K, uma vez que k é independente do fluido e K não. Os parâmetros kw e ka são chamados de permeabilidades relativas do meio para a água e para o ar. Cada solo tem duas curvas características de permeabilidade relativa versus a carga de pressão, uma para a água, kw(ψw), e uma para o ar, ka(ψa).

A abordagem de fase-unitária para o fluxo insaturado leva a técnicas de análise que são suficientemente precisas para quase todos os fins práticos, mas existem alguns problemas de fluxo insaturado, onde o fluxo multifásico de ar e a água devem ser considerados. Estes geralmente envolvem casos onde uma elevação da pressão do ar retido adiante da frente de molhagem pode influenciar a taxa de propagação desta através do solo. Wilson & Luthin (1963) encontraram os efeitos experimentalmente, Youngs & Peck (1964) forneceram uma discussão teórica e McWhorter (1971) apresentou uma análise completa. Como será visto na Seção 6.8, o aprisionamento de ar também pode influenciar nas flutuações dos níveis d’água freáticos. Bianchi & Haskell (1966) discutem os problemas de aprisionamento de ar em uma situação de campo e Green et al. (1970) descrevem uma aplicação de campo de uma abordagem multifásica para a análise de um sistema de fluxo subsuperficial.

Grande parte da investigação original sobre fluxo multifásico em meios porosos foi realizada pela indústria do petróleo. A engenharia de reservatório de petróleo envolve a análise de fluxo em três fases de petróleo, gás e água. Pirson (1958) e Amyx et al. (1960) são referências neste campo de estudo. Stallman (1964) fornece uma revisão interpretativa das contribuições multifásicas de petróleo no que dizem respeito à hidrologia de água subterrânea.

A análise de duas fases de fluxo insaturado é um exemplo de deslocamento imiscível; isto é, os fluidos deslocam-se mutuamente sem se misturarem e existe uma interface distinta fluido-fluido dentro de cada poro. O fluxo simultâneo de dois fluidos que são solúveis um no outro é denominado deslocamento miscível e em tais casos não existe uma interface distinta líquido-líquido. Bear (1972) fornece um avançado tratamento teórico para ambos os deslocamentos miscível e imiscível em meios porosos. Aqui os únicos exemplos de deslocamento imiscíveis são aqueles que foram discutidos nesta subseção. No restante do texto, o fluxo insaturado será tratado como um problema de fase única utilizando os conceitos e abordagem da primeira parte desta seção. As ocorrências mais comuns de deslocamento miscível em hidrologia da água subterrânea envolvem a mistura de duas águas com química diferente (como água do mar e água doce, ou água pura e água contaminada). Os processos de transporte associados com o deslocamento miscível e as técnicas de análises de contaminação de águas subterrâneas serão discutidos no Capítulo 9.

2.7 Aquíferos e Aquitardes

De todas as palavras do vocabulário hidrológico não há provavelmente nenhuma com mais nuances de significado do que o termo aquífero. Significa coisas diferentes para pessoas diferentes e, talvez, coisas diferentes para a mesma pessoa em momentos diferentes. É usado para se referir a camadas geológicas individuais, para formações geológicas completas e ainda para grupos de formações geológicas. O termo deve ser sempre visto em termos de escala e no contexto de sua utilização.

Aquíferos, Aquitardes e Aquicludes

Um aquífero é melhor definido como uma unidade geológica permeável saturada que pode transmitir quantidades significativas de água sob gradientes hidráulicos comuns. Um aquiclude é definido como uma unidade geológica saturada que é incapaz de transmitir quantidades significativas de água sob gradientes hidráulicos comuns.

Duas definições que são amplamente utilizadas na indústria de perfuração de poços afirma que aquíferos são suficientemente permeáveis para se obter quantidades econômicas de água, enquanto que aquicludes não.

Nos últimos anos o termo aquitarde foi cunhado para descrever as camadas menos permeáveis ​​de uma sequência estratigráfica. Tais camadas podem ser suficientemente permeáveis para transmitir água em quantidades que são importantes no estudo regional de fluxo das águas subterrâneas, mas a sua permeabilidade não é suficiente para permitir a produção suficiente de água em poços. A maioria dos estratos geológicos são classificados como aquíferos ou aquitardes; pouquíssimas formações se encaixam na definição clássica de um aquiclude. Como resultado, há uma tendência para a utilização dos dois primeiros termos em detrimento do terceiro.

Os aquíferos mais comuns são as formações geológicas que têm valores de condutividade hidráulica na metade superior do intervalo observado (Tabela 2.2): areias não consolidadas e cascalhos, rochas sedimentares permeáveis como arenitos e calcários, e rochas vulcânicas e cristalinas fortemente fraturadas. Os aquitardes mais comuns são argilas, xistos e rochas cristalinas densas. No Capítulo 4 serão examinados mais detalhadamente os principais tipos de aquíferos e de aquitardes dentro do contexto da discussão sobre controles geológicos na ocorrência de águas subterrâneas.

As definições de aquífero e aquitarde são propositalmente imprecisas em relação à condutividade hidráulica. Isto deixa em aberto a possibilidade de utilizar esses termos de forma relativa. Por exemplo, em uma sequência intercalada de areia-silte, os siltes podem ser considerados aquitardes, enquanto que num sistema silte-argila, os siltes são aquíferos.

Aquíferos são frequentemente chamados pelos seus nomes estratigráficos. O Arenito Dakota, por exemplo, deve a sua fama geológica graças à avaliação de Meinzer (1923) de suas propriedades como um aquífero. Dois outros aquíferos norte-americanos conhecidos são o Arenito Saint Peter, em Illinois, e o Calcário Ocala, na Flórida. Um resumo dos principais sistemas aquíferos nos Estados Unidos podem ser encontrados em McGuinness (1963) e Maxey (1964), realizados a partir de compilações anteriores de Meinzer (1923), Tolman (1937) e Thomas (1951). Brown (1967) fornece informações sobre os principais aquíferos do Canadá.

Em um mundo ideal de análise, onde muitas das seções expostas neste livro residem, os aquíferos tendem a parecer como formações homogêneas, isotrópicas, de espessuras constantes e geometrias simples. Espera-se que o leitor entenda que o mundo real é um pouco diferente. Os hidrogeólogos constantemente encontram sistemas complexos de aquíferos-aquitardes de formações heterogêneas e anisotrópicos, em vez dos casos idealizados retratadas nestes textos. Parece que muitas vezes os processos geológicos conspiram maliciosamente para maximizar as dificuldades interpretativas e analíticas.

Aquíferos Confinados e Livres

Um aquífero confinado é um aquífero que está confinado entre dois aquitardes. Um aquífero livre, ou aquífero freático, é um aquífero em que o nível freático constitui o limite superior. Aquíferos confinados ocorrem em profundidade, aquíferos livres perto da superfície (Figura 2.16). Uma lente saturada que é delimitada por um nível freático suspenso (Figura 2.15) é considerado como um caso particular de um aquífero livre.

Em um aquífero confinado, o nível de água num poço normalmente posiciona-se acima da parte superior do aquífero. Se isso acontece, o poço é chamado de poço artesiano e o aquífero é dito que está sob condições artesianas. Em alguns casos, o nível da água pode ficar acima da superfície do terreno, onde o poço é conhecido como poço de fluxo artesiano e o aquífero é considerado sob condições de artesianismo. Na Seção 6.1, serão examinadas as circunstâncias topográficos e geológicas que resultam em condições de artesianismo. O nível d’água em um poço em um aquífero livre repousa no nível freático.

Figura 2.16 Aquífero livre e seus níveis freáticos; aquífero confinado e sua superfície potenciométrica.

Superfície Potenciométrica

Para aquíferos confinados, que são amplamente explorados para abastecimento de água, estabeleceu-se um conceito tradicional que não é particularmente consistente mas cujo uso está firmemente enraizado. Se as elevações de nível de água em poços explorando um aquífero confinado são plotadas em um mapa e esboçadas linhas de mesma elevação, a superfície resultante, a qual é na verdade um mapa de carga hidráulica no aquífero, é chamada de superfície potenciométrica. Um mapa da superfície potenciométrica de um aquífero fornece uma indicação das direções de fluxo de suas águas subterrâneas.

O conceito de superfície potenciométrica só é rigorosamente válido para fluxo horizontal em aquíferos horizontais. A condição de fluxo horizontal é atendida apenas em aquíferos com condutividade hidráulica bem maior do que aquelas das camadas confinantes associadas. Alguns relatórios hidrogeológicos contêm mapas de superfície potenciométrica com base em dados de nível de água a partir de conjuntos de poços que estão posicionados perto da mesma elevação, mas que não estão associados com um específico aquífero confinado bem definido. Este tipo de superfície potenciométrica é essencialmente um mapa de contornos de cargas hidráulicas numa seção transversal horizontal bidimensional feita por meio de um padrão de carga hidráulica tridimensional que existe no subsolo dessa área. Se houver componentes verticais de fluxo, como normalmente há, cálculos e interpretações baseadas neste tipo de superfície potenciométrica podem ser grosseiramente enganadores.

Também é possível confundir a superfície potenciométrica com o nível freático em áreas onde ambos os aquíferos livres e confinados existem. A Figura 2.16 distingue esquematicamente as duas. Em geral, como será visto nas redes de fluxo no Capítulo 6, as duas não coincidem.

2.8 Fluxo de Estado Estacionário e Fluxo Transiente

Fluxo em estado estacionário, ou fluxo permanente, ocorre quando em qualquer ponto em um campo de fluxo a magnitude e a direção da velocidade de fluxo são constantes com o tempo. O fluxo transiente (ou fluxo instável, ou fluxo não permanente, ou fluxo transitório) ocorre quando em qualquer ponto de um campo de fluxo a magnitude ou a direção da velocidade de fluxo varia com o tempo.

A Figura 2.17 (a) mostra um padrão de fluxo de água subterrânea em estado estacionário (equipotenciais tracejadas e linhas de fluxo contínuas) através de um depósito aluvial permeável sob uma barragem de concreto. Ao longo da linha AB, a carga hidráulica hAB = 1.000 m. Ela é igual à elevação da superfície do reservatório acima de AB. Do mesmo modo, hCD, = 900 m (elevação da lagoa reservatório acima de CD). A queda de carga hidráulica Δh que atravessa o sistema é de 100 m. Se o nível de água no reservatório acima de AB e o nível de água na lagoa acima de CD não se alteram com o tempo, a rede de fluxo por baixo da barragem não mudará com o tempo. A carga hidráulica no ponto E, por exemplo, será hE = 950 m e permanecerá constante. Sob tais circunstâncias, a velocidade v = –K ∂h/∂l também permanecerá constante ao longo do tempo. Em um sistema de fluxo em estado estacionário, a velocidade pode variar de ponto para ponto, mas não vai variar com o tempo para qualquer dado ponto.

Considere o problema de fluxo transiente mostrado esquematicamente na Figura 2.17 (b). No tempo t0 a rede de fluxo sob a barragem será idêntica à da Figura 2.17 (a) e hE será 950 m. Se o nível do reservatório cai no período de t0 a t1 até que os níveis de água acima e abaixo da barragem sejam idênticos no momento t1, as condições finais sob a barragem serão estáticas, sem fluxo de água de montante para jusante. No ponto E a carga hidráulica hE  sofrerá um declínio em função do tempo a partir de hE = 950 m no momento t0, com seu valor final hE = 900 m. Também pode haver uma defasagem de tempo no sistema, então hE não necessariamente alcançará o valor hE = 900 m até algum tempo após t = t1.

Figura 2.17 Estados estacionário e transiente de fluxo de água subterrânea sob uma barragem.

Uma diferença importante entre os sistemas estacionários e transientes reside na relação entre suas linhas de fluxo e linhas de caminho de partículas. Linhas de fluxo indicam as direções instantâneas de fluxo ao longo de um sistema (em todos os momentos em um sistema estacionário, ou em um dado instante no tempo em um sistema transiente). Elas devem ser ortogonais às linhas equipotenciais em toda a região de fluxo em todos os momentos. O mapa de linhas de caminho de partículas mapeiam a rota que uma partícula individual de água segue através de uma região de fluxo durante um evento estacionário ou transiente. Num sistema de fluxo estacionário, uma partícula de água que entra no sistema pelo seu contorno de entrada vai fluir na direção do contorno de saída ao longo de uma linha caminho de partículas que coincide com uma linha de fluxo, como mostrado na Figura 2.17 (a). Num sistema de fluxo transiente, por outro lado, as linhas de fluxo e de caminho de partículas não coincidem. Embora uma rede de fluxo possa ser construída para descrever as condições de fluxo em qualquer instante no tempo em um sistema transiente, as linhas de fluxo mostradas representam apenas as direções de movimento nesse instante no tempo. Com a configuração das linhas de fluxo mudando com o tempo, as linhas de fluxo não podem descrever por si só o percurso completo de uma partícula de água que atravessa o sistema. As delimitações das linhas de percurso transientes têm uma importância óbvia no estudo da contaminação das águas subterrâneas.

Um hidrólogo de águas subterrâneas deve entender das técnicas de análise tanto para fluxo em estado estacionário quanto para fluxo transiente. Nas seções finais deste capítulo as equações de fluxo serão desenvolvidas para cada tipo de fluxo, tanto condições saturadas como insaturadas. A metodologia prática que será apresentada em capítulos adiante é frequentemente baseada em equações teóricas, mas não é normalmente necessário que um profissional hidrogeólogo tenha a matemática na ponta dos dedos. A principal aplicação das técnicas de estado estacionário em hidrologia subterrânea está na análise regional do fluxo de água subterrânea. Uma compreensão de fluxo transiente é necessária para a análise da hidráulica de poços, recarga de água subterrânea e muitas outras aplicações geoquímicas e geotécnicas.

2.9 Compressibilidade e Tensão Efetiva

A análise de fluxo transiente da águas subterrânea requer a introdução do conceito de compressibilidade, uma propriedade do material que descreve a variação do volume, ou da deformação, induzido em um material sob uma tensão aplicada. Na abordagem clássica para a resistência de materiais elásticos, o módulo de elasticidade é uma propriedade do material mais familiar. É definida como a razão da mudança na tensão na alteração resultante na deformação . A compressibilidade é simplesmente o inverso do módulo da elasticidade. É definida como deformação/estresse, /, em vez de estresse/deformação, /. O termo é utilizado para ambos os materiais elástico e não elástico. Para o fluxo de água através de um meio poroso, é necessário definir dois termos de compressibilidade, um para a água e um para os meios porosos.

Compressibilidade da Água

A tensão é transmitida para um fluido através da pressão de fluido p. Um aumento em pressão dp leva a uma diminuição no volume Vw de uma dada massa de água. A compressibilidade da água β é, portanto, definida como:

\beta = \frac{-dV_w/V_w}{dp} (2.44)

O sinal negativo é necessário para que β seja um número positivo.

A Equação (2.44) implica em uma relação linear elástica entre a deformação volumétrica dVw/Vw e a tensão induzida no fluido pela mudança na pressão do fluido dp. Assim, a compressibilidade β é a inclinação da linha que relaciona deformação a tensão para a água, e esta inclinação não muda ao longo do intervalo de pressões de fluido encontrados em hidrologia de água subterrânea (incluindo aqueles inferiores à atmosférica que são encontrados na zona insaturada). Para o intervalo de temperaturas de águas subterrâneas que são normalmente encontrados, a temperatura tem uma influência pequena sobre β, então, para a maioria das situações práticas, β pode ser considerada constante. As dimensões de β são o inverso daqueles para pressão ou tensão. O seu valor pode ser considerado como 4,4 × 10-10 m2/N (ou Pa-1).

Para uma dada massa de água é possível reescrever a Eq. (2.44) sob a forma:

\beta = \frac{dp/p}{dp} (2.45)

onde ρ é a densidade do fluido. A integração da Eq. (2.45) produz a equação de estado para a água:

\rho = \rho_0 \text{exp}[\beta(p - p_0)] (2.46)

onde ρ0 é a densidade do fluido no datum de p0. Para p0 atmosférico, a Eq. (2.46) pode ser escrita em termos de pressões de calibre, como:

\rho = \rho_0 e^{\beta p} (2.47)

Um fluido incompressível é aquele para o qual β = 0 e ρ = ρ0 = constante.

Tensão Efetiva

Considere agora a compressibilidade do meio poroso. Assuma que uma tensão é aplicada a uma unidade de massa de areia saturada. Existem três mecanismos pelos quais uma redução no volume pode ser obtida: (1) pela compressão da água nos poros, (2) pela compressão dos grãos individuais de areia, e (3) por um rearranjo dos grãos de areia em uma configuração mais compacta. O primeiro destes mecanismos é controlado pela compressibilidade do fluido β. Assuma que o segundo mecanismo é desprezível, ou seja, que os grãos individuais do solo são incompressíveis. A tarefa é definir um termo de compressibilidade que irá refletir o terceiro mecanismo.

Para fazer isso, deve-se invocar o princípio da tensão efetiva. Este conceito foi primeiramente proposto por Terzaghi (1925) e foi analisado em detalhe por Skempton (1961). A maioria dos textos de mecânica de solos, como os de Terzaghi & Peck (1967) e Scott (l963), fornece uma discussão mais completa.

Para os propósitos deste capítulo, considere o equilíbrio de tensão em um plano arbitrário através de uma formação geológica saturada em profundidade (Figura 2.18). σT representa a tensão total atuando para baixo sobre o plano. Isso acontece devido ao peso da rocha e da água sobrejacentes. Esta tensão é suportada, em parte, pelo arcabouço granular do meio poroso e, em parte, pela pressão de fluido p da água nos poros. A porção da tensão total que não é suportada pelo fluido é chamada de tensão efetiva σe. É esta tensão que está realmente aplicada aos grãos do meio poroso. O rearranjo dos grãos do solo e a compressão resultante do arcabouço granular é causado por alterações na tensão efetiva, não por alterações na tensão total. Os dois estão relacionados pela simples equação:

\sigma_T = \sigma_e + p (2.48)

em termos de alterações,

d\sigma_T = d\sigma_e + dp (2.49)

Muitos dos problemas de fluxos transitórios em subsuperfície que devem ser analisados não envolvem mudanças na tensão total. O peso das rochas e da água que recobre cada ponto no sistema muitas vezes permanece essencialmente constante ao longo do tempo. Em tais casos, T = 0 e:

d\sigma_e = -dp (2.50)

Figura 2.18 Tensão total, tensão efetiva e pressão de fluido em um plano arbitrário através de um meio poroso saturado.

Nestas circunstâncias, se a pressão de fluido aumenta, a tensão efetiva diminui na mesma quantidade; e se a pressão de fluido diminui, a tensão efetiva aumenta na mesma quantidade. Para casos em que a tensão total não se altera com o tempo, a tensão efetiva em qualquer ponto no sistema e as deformações volumétricas resultantes serão controlados pelas pressões de fluido nesse ponto. Desde que p = ρgψ e ψ = h – z (z sendo constante no ponto em questão), mudanças na tensão efetiva em um ponto estão na verdade governadas por mudanças na carga hidráulica nesse ponto:

d\sigma_e = -\rho g \hspace{1mm} d\psi = -\rho g \hspace{1mm} dh (2.51)

Compressibilidade de um Meio Poroso

A compressibilidade de um meio poroso é definida como:

\alpha = \frac{-dV_T/V_T}{d\sigma_e} (2.52)

onde VT é o volume total de uma massa de solo e e a mudança na tensão efetiva.

Recorde-se que VT = VS + Vv, onde VS é o volume dos sólidos e Vv representa o volume de vazios saturados em água. Um aumento na tensão efetiva e produz uma redução dVT no volume total da massa de solo. Em materiais granulares, esta redução ocorre quase que inteiramente como resultado do rearranjos dos grãos. É verdade que os grãos individuais podem ser compressíveis, mas o efeito é geralmente considerado desprezível. Em geral dVT = dVS + dVv; mas para os propósitos aqui, é assumido que dVS = 0 e dVT = dVv.

Considere uma amostra de solo saturado que foi colocada numa célula de carga de laboratório, como mostrado na Figura 2.19 (a). Uma tensão total σT = L/A pode ser aplicada na amostra a partir dos pistões. A amostra é lateralmente confinada pelas paredes da cédula, e a água aprisionada escapa através de aberturas nos pistões para um reservatório externo a uma pressão de fluido constante conhecida. A redução volumétrica do tamanho da amostra de solo é medida em vários valores de L, enquanto L é aumentado de forma gradual. A cada passo, o aumento da pressão total é inicialmente suportada pela água sob pressões de fluido crescente, mas a drenagem de água a partir da amostra para o reservatório externo lentamente transfere a tensão da água para o arcabouço granular. Este processo transiente é conhecido como consolidação, e o tempo necessário para esse processo atingir o equilíbrio hidráulico em cada L pode ser considerável. Uma vez atingido, no entanto, é sabido que dp = 0 dentro da amostra e, pela Eq. (2.49), e = T = dL/A. Se a amostra de solo tem uma relação de vazios original e0 (onde e = Vv/VS) e uma altura original b [Figura 2.19 (a)] e, assumindo que dVT = dVv, a Eq. (2.52) pode ser escrita como:

\alpha = \frac{-db/b}{d\sigma_e} = \frac{-de(1+e_0)}{d\sigma_e} (2.53)

A compressibilidade α é geralmente determinada a partir do declive de uma curva de tensão-deformação na forma de e versus σe. A curva AB na Figura 2.19 (b) é para o carregamento (aumentando σe), BC é para o descarregamento (diminuindo σe). Em geral, a relação de tensão-deformação não é linear nem elástica. Na verdade, para cargas e descargas repetidas, muitos solos de granulometria fina mostram propriedades histeréticas [Figura 2.19 (c)]. A compressibilidade do solo α, diferentemente da compressibilidade do fluido β, não é uma constante; é uma função da tensão aplicada e é dependente da história de carregamento anterior.

A Figura 2.19 (d) fornece uma comparação esquemática das curvas eσe para argila e areia. A menor inclinação para a curva de areia implica um menor α, e a sua linearidade implica em um valor α que permanece constante ao longo de uma vasto intervalo de σe. Em sistemas de água subterrânea, as flutuações dependentes do tempo em σe são muitas vezes bem pequenas, de modo que mesmo para as argilas um α constante pode ter algum significado. A Tabela 2.5 mostra valores de compressibilidade que indicam intervalos medidos para vários tipos de materiais geológicos. Fontes originais de dados de compressibilidade incluem Domenico e Miffin (1965) e Johnson et al. (1968). As dimensões de α, como β, são o inverso daquelas para tensão. Os valores são expressos em unidades SI em m2/N ou Pa-1. Note que a compressibilidade de água é da mesma ordem de grandeza da compressibilidade dos materiais geológicos menos compressíveis.

Como observado na Figura 2.19 (b) e (c), a compressibilidade de alguns solos em expansão (expansividade) é muito menor que em compressão. Para as argilas, a razão entre os dois α’s é geralmente na ordem de 10:1; para as areias uniformes, se aproxima de 1:1. Para solos que têm valores de compressibilidade que são significativamente menores em expansão que em compressão, as deformações volumétricas que ocorrem em resposta ao aumento da tensão efetiva [talvez devido à diminuição de cargas hidráulicas, tal como sugerido pela Eq. (2.51)] são em grande parte irreversíveis. Eles não ficam recuperados quando as tensões eficazes subsequentemente diminuem. Em um sistema aquífero-aquitarde argilo-arenoso, as grandes compactações que podem ocorrer nos aquitardes argilosos (devido aos grandes valores de α) são em majoritariamente irrecuperáveis; enquanto que as pequenas deformações que ocorrem nos aquíferos arenosos (devido ao pequeno valores de α) são majoritariamente elásticas.

Figura 2.19 (a) Célula de carregamento de laboratório para a determinação da compressibilidade de solo; (b), (c) e (d) curvas esquemáticas da taxa de vazios versus tensão efetiva.

Tabela 2.5 Intervalo dos valores de compressibilidades*

  Compressibilidade a (m2/N ou Pa-1)
Argila 10-6 – 10-8
Areia 10-7 – 10-9
Cascalho 10-8 – 10-10
Rochas fraturadas 10-8 – 10-10
Rocha sã 10-9 – 10-11
Água (β) 4,4 – 10-10
* Ver Tabela A1.3, Apêndice I, para fatores de conversão.

Compressibilidade do Aquífero

O conceito inerente de compressibilidade na Eq. (2.53) e nas Figuras 2.18 e 2.19 é unidimensional. Em campo, em profundidade, um conceito unidimensional tem sentido se assume-se que solos e rochas são tensionados apenas na direção vertical. A tensão vertical total σT, em qualquer ponto, é devida ao peso da água e da rocha sobrejacente; os materiais vizinhos fornecem o confinamento horizontal. A tensão eficaz vertical σe é igual σep. Sob estas condições, a compressibilidade do aquífero α é definida pela primeira igualdade da Eq. (2.53), onde b é agora a espessura do aquífero, em vez de uma altura da amostra. O parâmetro α é uma compressão vertical. Se for para ser determinada com um aparato de laboratório como o da Figura 2.19 (a), as amostras de solo devem ser orientadas verticalmente e a aplicação de carga deve ser em ângulo reto para qualquer camada horizontal. Dentro de um aquífero, α pode variar com a posição horizontal; isto é, α pode ser heterogêneo sendo α = α (x, y).

Em análise mais geral, deve-se reconhecer que o campo de tensão existente em profundidade não é unidimensional, mas tridimensional. Nesse caso, a compressibilidade do aquífero deve ser considerada como um parâmetro anisotrópico. A compressibilidade vertical α é, então, invocada por mudanças na componente vertical da tensão efetiva e as compressibilidades horizontais são invocadas por mudanças nas componentes horizontais da tensão efetiva. A aplicação dos conceitos de análise de tensão tridimensional na consideração do fluxo de fluido através de meios porosos é um tópico avançado que não cabe ser discutido aqui. Felizmente, para muitos casos práticos as mudanças no campo de tensões horizontais são muito pequenas e, na maioria das análises, pode se presumir que eles são insignificantes. É suficiente ao nosso propósito pensar em compressibilidade do aquífero α como um único parâmetro isotrópico, mas deve-se ter em mente que é na verdade a compressibilidade na direção vertical e que esta é a única direção na qual grandes alterações na tensão eficaz são previstas.

Para ilustrar a natureza das deformações que podem ocorrer em aquíferos compressíveis, considere o aquífero de espessura b mostrado na Figura 2.20. Se o peso do material sobrejacente permanece constante e a carga hidráulica na camada aquífera é diminuída por uma quantidade –dh, o aumento na tensão efetiva e é dada pela Eq. (2.51) como ρg dh, e a compactação do aquífero, a partir da Equação (2.53) é:

db = -\alpha b \hspace{1mm} d\sigma_e = -\alpha b \hspace{1mm} \rho g \hspace{1mm} dh (2.54)

O sinal de menos indica que o decréscimo na carga produz redução na espessura b.

Figura 2.20 Compactação do aquífero causada pelo bombeamento de água subterrânea.

Uma maneira que a carga hidráulica pode ser reduzida em um aquífero é pelo bombeamento de um poço. Bombeamento induz gradientes hidráulicos horizontais na direção do poço no aquífero e, como resultado, a carga hidráulica diminui em cada ponto perto do poço. Em resposta, as tensões efetivas aumentam nestes pontos e a compactação do aquífero acontece. Por outro lado, a injeção de água em um aquífero aumenta as cargas hidráulicas, diminui as tensões efetivas e causa a expansão do aquífero. Se a compactação de um sistema aquífero-aquitarde devido ao bombeamento de águas subterrâneas é propagada para a superfície do solo, o resultado é a subsidência do terreno. Na Seção 8.12, este fenômeno é tratado com muito mais em detalhe.

Tensão Efetiva em uma Zona Insaturada

A primeira igualdade na Eq. (2.51) indica que a relação entre a tensão efetiva σe e a carga de pressão ψ deve ser linear. Esta relação, e o conceito da Figura 2.18 na qual é baseada, mantém-se para a zona saturada, mas há evidências abundantes que sugerem que ela não se mantém para a zona insaturada (Nara-simhan, 1975). Para o fluxo insaturado, Bispo e Blight (1963) sugerem que a Eq. (2.51) deve ser modificada para:

d\sigma_e = -\rho g\chi \hspace{1mm} d\psi (2.55)

onde o parâmetro χ depende do grau de saturação, da estrutura e do histórico secagem/molhagem do solo. A curva ABC na Figura 2.21 mostra tal relação esquematicamente. Para ψ > 0,  = 1; para ψ < 0, χ ≤ 1; e para ψ << 0, χ = 0.

Figura 2.21 Relação entre tensão efetiva e carga de pressão nas zonas saturadas e insaturadas (Narasimhan, 1975).

A abordagem χ é empírica e sua utilização reflete o fato de que a capacidade de pressões de fluido inferiores à atmosférica para suportar uma parte da tensão total em um campo de fluxo insaturado não está ainda totalmente compreendida. Como uma primeira aproximação, é razoável supor que elas não tenham tal capacidade, como sugerido pela curva ABD na Figura 2.21. Partindo deste pressuposto, para ψ < 0, χ = 0, e e = T, e mudanças na carga de pressão (ou teor de umidade) na zona insaturada não levam a mudanças na tensão eficaz.

A definição da compressibilidade de um meio poroso na zona insaturada ainda é dada pela Eq. (2.52), assim como o é na zona saturada, mas a influência da pressão do fluido sobre a tensão efetiva é agora considerada como limitada ou inexistente.

2.10 Transmissividade e Armazenamento

Existem seis propriedades físicas básicas de meios porosos e de fluido que devem ser conhecidas a fim de descrever os aspectos hidráulicos de fluxo saturado de água subterrânea. Todas essas seis propriedades foram introduzidas. Elas são, para a água, a densidade ρ, a viscosidade μ e a compressibilidade β; e para o meio, a porosidade n (ou relação de vazio e), permeabilidade k e compressibilidade α. Todos os outros parâmetros que são usados para descrever as propriedades hidrogeológicas das formações geológicas podem ser derivados desses seis. Por exemplo, já foi visto que, a partir da Eq. (2.28), a condutividade hidráulica saturada K é uma combinação de k, ρ e μ. Nesta seção, serão considerados os conceitos de armazenamento específico Ss, armazenamento S e transmissividade T.

Armazenamento Específico

O armazenamento específico Ss de um aquífero saturado é definido como o volume de água que uma unidade de volume do aquífero libera do armazenamento sob uma diminuição unitária na carga hidráulica. Da Seção 2.9 sabe-se que uma diminuição na carga hidráulica h infere em uma diminuição na pressão de fluido p e um aumento na tensão efetiva σe. A água que é liberada do armazenamento sob condições de diminuição h é produzida por dois mecanismos: (1) as compactações do aquífero causadaas ​​pelo aumento de σe, e (2) a expansão da água causada pela diminuição de p. O primeiro destes mecanismos é controlado pela compressibilidade do aquífero α e o segundo pela compressibilidade do fluido β.

Considere a água produzida pela compactação do aquífero. O volume de água liberada da unidade de volume do aquífero durante a compactação será igual à redução em volume da unidade de volume de aquífero. A redução volumétrica dVT será negativa, mas a quantidade de água produzida dVw vai ser positiva, de modo que, a partir da Eq. (2.52):

dV_W = -dV_T = \alpha V_Td\sigma_e (2.56)

Para um volume unitário, VT = 1, e a partir da Eq. (2.51), e = ρg dh. Para um decrcscimo unitário da carga hidráulica, dh = –1, tem-se:

dV_W = \alpha \rho g (2.57)

Agora, considere o volume de água produzido pela expansão da água. A partir da Eq. (2.44):

dV_W = -\beta V_W dp (2.58)

O volume de água Vw no volume unitário total VT é nVT, onde n é a porosidade. Com VT = l e dp = ρg dψ = pg d(hz) = ρg dh, a Eq. (2.58) torna-se, para dh = – 1:

dV_W =\beta n \rho g (2.59)

O armazenamento específico Ss é a soma dos dois termos dados pelas Eqs. (2.57) e (2.59):

S_s = \rho g (\alpha + n\beta) (2.60)

Uma análise dimensional desta equação mostra que Ss tem as dimensões peculiares de [L]-1. Isso também decorre da definição de Ss como um volume por volume por unidade de declínio na carga.

Transmissividade e Armazenamento de um Aquífero Confinado

Para um aquífero confinado de espessura b, a transmissividade (ou transmissibilidade) T é definida:

T = Kb (2.61)

e o armazenamento (ou coeficiente de armazenamento) S é definido como:

S = S_sb (2.62)

Se substituir a Eq. (2.60) na Eq. (2.62), a definição expandida de S pode ser:

S = \rho gb(\alpha + n\beta) (2.63)

O armazenamento de um aquífero confinado saturado de espessura b pode ser definido como o volume de água que um aquífero libera do armazenamento por unidade de área de superfície do aquífero por unidade de declínio na componente de carga hidráulica normal a essa superfície. A carga hidráulica para um aquífero confinado geralmente é exibida sob a forma de uma superfície potenciométrica, e a Figura 2.22 (a) ilustra o conceito de armazenamento sob essa visão.

Como a condutividade hidráulica K tem dimensões [L/T], fica evidente a partir da Eq. (2.61) que a transmissividade T tem dimensões [L2/T]. A unidade métrica SI é m2/s. T e S são termos amplamente utilizados na indústria de água subterrânea na América do Norte e, muitas vezes, são expressas em unidades imperiais. Se K é expressa em gal/dia/pé2, então T tem unidades de gal/dia/pé. O intervalo de valores de T pode ser calculado multiplicando os valores de K pertinentes da Tabela 2.2 pelo intervalo das espessuras razoáveis de aquíferos, sejam 5–100 m. Transmissividades superiores a 0,015 m2/s (ou 0,16 pé2/s ou 100.000 gal/dia/pé) representam bons aquíferos para a poços de explotação de água. Armazenamentos são adimensionais. Em aquíferos confinados, seus valores variam de 0,005 a 0,00005. Tomando-se como base a definição de S, tendo em mente seu intervalo de valores, torna-se claro que são necessárias grandes mudanças de carga sobre extensas áreas para produzir volumes substanciais de água a partir de aquíferos confinados.

Transmissividades e armazenamentos podem ser especificados para aquitardes, assim como para aquíferos. No entanto, na maioria das aplicações, a condutividade hidráulica vertical de um aquitarde tem mais importância do que a sua transmissividade. Poderia também notar-se que em aquitardes argilosos, α >> β, e o termo , na definição de armazenamento [Eq. (2.63)] e na de armazenamento específico [Eq. (2.60)] torna-se desprezível.

Figura 2.22 Representação esquemática do armazenamento em aquíferos (a) confinado e (b) livre (Ferris et al., 1962).

É possível definir um único parâmetro de formação que acople as propriedades de transmissão T ou K, e as propriedades de armazenamento S ou Ss. A difusividade hidráulica D é definida como:

D = \frac{T}{S}=\frac{K}{S_s} (2.64)

O termo não é usado amplamente na prática.

Os conceitos de transmissividade T e armazenamento S foram desenvolvidos principalmente para a análise da hidráulica de poços em aquíferos confinados. Para fluxo bidimensional e horizontal na direção de um poço em um aquífero confinado de espessura b, os termos são bem definidos; mas eles perdem o seu significado em muitas outras aplicações subterrâneas. Se um problema de águas subterrâneas tem conotações tridimensionais, é melhor reverter para o uso da condutividade hidráulica K e armazenamento específico Ss; ou talvez até melhor, aos parâmetros fundamentais permeabilidade k, porosidade n e compressibilidade a.

Transmissividade e Rendimento Específico em Aquíferos Livres

Em um aquífero livre, a transmissividade não é tão bem definida como em um aquífero confinado, mas pode ser utilizada. Ela é definida pela mesma equação [Eq. (2.61)], só que aqui b é a espessura saturada do aquífero ou a altura do nível freático acima do topo do aquitarde subjacente a esse aquífero.

O termo armazenamento para aquíferos livres é conhecido como rendimento específico Sy. É definido como o volume de água que um aquífero livre libera do armazenamento por unidade de área de superfície do aquífero por unidade de declínio no nível freático. Às vezes, é chamado de armazenamento livre. A Figura 2.22 (b) ilustra esquematicamente o conceito.

A ideia de rendimento específico é melhor visualizada em referência à interação saturado-insaturado que ela representa. A Figura 2.23 apresenta a posição do nível freático e o perfil vertical do teor de umidade versus profundidade na zona insaturada em dois tempos, t1 e t2. A área sombreada representa o volume de água do armazenamento liberada em uma coluna com seção de área unitária. Se o rebaixamento do nível freático representa um decréscimo unitário, a área sombreada representa o rendimento específico

Figura 2.23 Conceito de rendimento específico visto em termos de perfil de umidade insaturada acima do nível freático.

Os rendimentos específicos dos aquíferos livres são muito mais elevados do que os armazenamentos nos aquíferos confinados. O intervalo normal para Sy é 0,01 – 0,30. Estes valores relativamente mais elevados refletem o fato de que liberações de água pelo armazenamento em aquíferos livres representam uma drenagem real dos poros do solo, enquanto liberações do armazenamento em aquíferos confinados representam apenas os efeitos secundários da expansão de água e compactação do aquífero causados por alterações na pressão do fluido. As propriedades de armazenamento favoráveis dos aquíferos livres os tornam mais eficientes para explotação por poços. Quando comparados com aquíferos confinados, o mesmo rendimento pode ser obtido com pequenas mudanças de cargas sobre áreas menos extensas.

Armazenamento na Zona Insaturada

Em um solo insaturado, alterações no teor de umidade θ, tais como os mostrados na Figura 2.23, são acompanhadas por alterações na carga de pressão ψ, por meio da relação θ(ψ) indicada na curva característica da Figura 2.13 (a). A inclinação desta curva característica representa a propriedade de armazenamento insaturado de um solo. Essa inclinação é chamada de capacidade de umidade específica C, e é definida como:

C = \frac{d\theta}{d\psi} (2.65a)

Um aumento na carga de pressão (de –200 cm para –100 cm, na Figura 2.13) deve ser acompanhado por um aumento na umidade armazenada no solo insaturado. Posto que θ(ψ) é não-linear e histerético, então C também será. Não é uma constante, é uma função da carga de pressão ψ : C = C(ψ). Na zona saturada, na verdade, para todos os ψ > ψa o teor de umidade θ é igual à porosidade n, uma constante, de modo que C = 0. Uma formulação paralela com a Eq. (2.42) para C é

C = C(\psi) \hspace{1cm} \psi < \psi_a
(2.65b)

C = 0 \hspace{1cm} \psi \geq \psi_a

As propriedades de transmissão e armazenamento de um solo insaturado são completamente especificadas pela curva característica K(ψ) e uma das duas curvas θ(ψ) ou C(ψ).

De maneira análoga à Eq. (2.64), a difusividade da água do solo pode ser definida como:

D(\psi) = \frac{K(\psi)}{C(\psi)} (2.66)

2.11 Equações de Fluxo de Água Subterrânea

Em quase todos os campos da ciência e da engenharia as técnicas analíticas são baseadas em uma compreensão dos processos físicos e, na maioria dos casos, é possível descrever esses processos matematicamente. O fluxo de água subterrânea não é exceção. A lei básica do fluxo é a Lei de Darcy, e quando ela é colocada junto com uma equação de continuidade que descreve a conservação de massa de fluido durante o fluxo através de um meio poroso, uma equação diferencial parcial do fluxo é o resultado. Nesta seção serão apresentados breves desenvolvimentos das equações de fluxo para o (1) fluxo em estado estacionário, (2) fluxo transiente saturado, e (3) fluxo transiente insaturado. Todas as três equações de fluxo são bem conhecidas para os matemáticos e as técnicas matemáticas para sua manipulação são amplamente disponíveis e comumente utilizadas na ciência e na engenharia. Geralmente, a equação de fluxo aparece como um componente de um problema de valor de contorno, então, na última parte desta seção, este conceito será explorado.

Por que muitas das técnicas analíticas convencionais em hidrologia de água subterrânea são baseadas em problemas de valor de contorno que envolvem equações diferenciais parciais, é útil ter uma compreensão básica dessas equações quando se pretende aprender as várias técnicas. Felizmente, não é um requisito absoluto. Na maioria dos casos, as técnicas podem ser explicadas e compreendidas sem se retornar para a matemática fundamental a cada passo. O hidrogeólogo pesquisador deve trabalhar com as equações de fluxo diariamente; o hidrogeólogo profissional pode evitar a matemática avançada se assim o desejar.

Fluxo Saturado de Estado Estacionário

Considere um volume unitário de um meio poroso como o mostrado na Figura 2.24. Esse elemento é geralmente chamado de volume elementar de controle. A lei de conservação de massa para o fluxo em estado estacionário através de um meio poroso saturado exige que a taxa de fluxo de massa de fluido para o interior de qualquer volume elementar de controle seja igual à taxa de fluxo de massa de fluido para fora de qualquer volume de controle elementar. A equação de continuidade que traduz esta lei em forma matemática pode ser escrita, com referência à Figura 2.24, como:

-\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x} -\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y} -\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z} = 0 (2.67)

Uma rápida análise dimensional nos termos  vai mostrar que eles têm as dimensões de uma taxa de fluxo de massa através de uma área unitária da seção transversal do volume elementar de controle. Se o fluido é incompressível, ρ(x, y, z) = constante e os ρ’s podem ser retirados da Eq. (2.67). Mesmo que o fluido seja compressível e ρ(x, y, z) ≠ constante, é possível ver que os termos da fórmula ρ ∂vx/∂x são muito maiores do que os termos da fórmula vx ∂ρ/∂x, onde ambos ocorrem quando a regra de cadeia é utilizada para expandir a Eq. (2.67). Em ambos os casos, a Eq. (2.67) é simplificada para:

-\frac{\partial v_x}{\partial x} -\frac{\partial v_y}{\partial y} -\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 (2.68)

Figura 2.24 Volume elementar de controle para fluxo através de meios porosos.

A substituição da Lei de Darcy por vx, vy e vz, na Eq. (2.68) produz a equação de fluxo para estado estacionário através de um meio poroso saturado anisotrópico:

\frac{\partial}{\partial x}\left(K_x \frac{\partial h}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(K_y \frac{\partial h}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(K_z \frac{\partial h}{\partial z}\right) = 0 (2.69)

Para um meio isotrópico, Kx = Ky = Kz, e se o meio também for homogêneo, então, K(x, y, z) = constante. A Equação (2.69), então, se reduz para a equação de fluxo para o estado estacionário em um meio homogêneo e isotrópico:

\frac{\partial^2h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2h}{\partial y^2} + \frac{\partial^2h}{\partial z^2} = 0 (2.70)

A quação (2.70) é uma das equações diferenciais parciais mais básicas conhecidas pelos matemáticos. Ela é chamada Equação de Laplace. A solução da equação é uma função h(x, y, z) que descreve o valor da carga hidráulica em qualquer ponto de um fluxo tridimensional. Uma solução para a Eq. (2.70) permite produzir um mapa de contorno equipotencial de h, e com a adição de linhas de fluxo, uma rede de fluxo.

Para o estado estacionário, o fluxo saturado em um campo de fluxo bidimensional, no plano xz, por exemplo, o termo central da Eq. (2.70) deixaria de existir e a solução seria uma função h(x, z).

Fluxo Transiente Saturado

A lei da conservação de massa para fluxo transiente em um meio poroso saturado exige que a taxa do fluxo mássico de fluido total em qualquer volume elementar de controle seja igual à taxa de variação temporal do armazenamento da massa de fluido dentro do volume elementar. Com referência à Figura 2.24, a equação de continuidade toma a forma de:

-\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x} -\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y} -\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z} = \frac{\partial(\rho n)}{\partial t} (2.71)

ou, expandindo o lado direito da equação:

-\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x} -\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y} -\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z} = n\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\frac{\partial n}{\partial t} (2.72)

O primeiro termo do lado direito da Eq. (2.72) é a taxa de massa de água produzida por uma expansão da água sob uma mudança de sua densidade ρ. O segundo termo é a taxa de massa de água produzida pela compactação do meio poroso, tal como refletida pela alteração da sua porosidade n. O primeiro termo é controlado pela compressibilidade do fluido β e o segundo termo pela compressibilidade do aquífero α. Já foi feita a análise (na Seção 2.10) necessária para simplificar os dois termos do lado direito da Eq. (2.72). Sabe-se que a mudança no ρ e a alteração no n são produzidas por uma alteração na carga hidráulica h e que o volume de água produzido pelos dois mecanismos para um decréscimo unitário de carga é Ss, onde Ss é o armazenamento específico dado por Ss = ρg(a + ). A taxa de massa de água produzida (taxa temporal de variação de armazenamento de massa de fluido) é ρSS ∂h/∂t e a Eq. (2.72) torna-se:

-\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x} -\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y} -\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z} = \rho S_s\frac{\partial h}{\partial t} (2.73)

Expandindo os termos no lado esquerdo pela regra da cadeia e reconhecendo que esses termos da fórmula ρ ∂vx/∂x são muito maiores do que os termos vx∂ρ/∂x permite eliminar r de ambos os lados da Eq. (2.73). Inserindo a Lei de Darcy, obtém-se:

\frac{\partial}{\partial x}\left(K_x \frac{\partial h}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(K_y \frac{\partial h}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(K_z \frac{\partial h}{\partial z}\right) = S_s\frac{\partial h}{\partial t} (2.74)

Esta é a equação para fluxo transiente através de um meio poroso anisotrópico saturado. Se o meio é homogêneo e isotrópico, a Eq. (2.74) fica reduzida para:

\frac{\partial^2h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2h}{\partial y^2} + \frac{\partial^2h}{\partial z^2} = \frac{S_s}{K}\frac{\partial h}{\partial t} (2.75)

ou expandindo Ss,

\frac{\partial^2h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2h}{\partial y^2} + \frac{\partial^2h}{\partial z^2} = \frac{\rho g(\alpha+n\beta)}{K}\frac{\partial h}{\partial t} (2.76)

A Equação (2.76) é conhecida como a equação de difusão. A solução de h(x, y, z, t) descreve o valor da carga hidráulica em qualquer ponto em um campo de fluxo em qualquer momento. A solução requer o conhecimento dos três parâmetros hidrogeológicos básicos K, α, n e dos parâmetros de fluido ρ e β.

No caso especial de um aquífero confinado horizontal de espessura b, S = SsbT = Kb, e a forma bidimensional da Eq. (2.75) torna-se:

\frac{\partial^2h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2h}{\partial y^2}  = \frac{S}{T}\frac{\partial h}{\partial t} (2.77)

A solução de h(x, y, t) descreve o campo de carga hidráulica em qualquer ponto sobre um plano horizontal através do aquífero horizontal em qualquer tempo. A solução requer conhecimento dos parâmetros de aquíferos S e T.

A equação para fluxo saturado e transiente [em qualquer uma das formas dadas pelas Eqs. (2.74) até (2.77)] baseia-se na lei de fluxo estabelecida por Darcy (1856), no esclarecimento do potencial hidráulico por Hubbert (1940), no reconhecimento dos conceitos de elasticidade do aquífero por Meinzer (1923) e tensão efetiva por Terzaghi (1925). O desenvolvimento clássico foi apresentado pela primeira vez por Jacob (1940) e pode ser encontrado na sua forma mais completa em Jacob (1950). O desenvolvimento apresentado nesta seção, juntamente com os conceitos de armazenamento nas seções anteriores, é essencialmente o de Jacob.

Nos últimos anos tem havido uma grande reavaliação desse desenvolvimento clássico. Biot (1955) reconheceu que em aquíferos compactantes é necessário lançar a Lei de Darcy em termos de uma velocidade relativa de fluido para grãos, e Cooper (1966) apontou a inconsistência de se assumir um volume elementar de controle fixo em um meio que se deforma. Cooper mostrou que o desenvolvimento clássico de Jacob é correto caso a velocidade seja vista como relativa e o sistema de coordenadas como deformável. Ele também mostrou que a tentativa de De Wiest (1966) para atacar este problema (que também aparece em Davis & De Wiest, 1966) está incorreta. O Apêndice II contém uma apresentação do desenvolvimento de Jacob-Cooper mais rigorosa do que a que foi mostrada aqui.

O desenvolvimento clássico, por meio da sua utilização do conceito da compressibilidade vertical do aquífero, assume que as tensões e deformações em um aquífero compactante ocorrem somente na direção vertical. A abordagem acopla um campo de fluxo tridimensional e um campo de tensão unidimensional. A abordagem mais geral, que acopla um campo de fluxo tridimensional e um campo de tensão tridimensional, foi considerada pela primeira vez por Biot (1941, 1955). Verruijt (1969) fornece um elegante resumo dessa abordagem.

Para quase todos os fins práticos, não é necessário considerar velocidades relativas, coordenadas deformantes, ou campos de tensões tridimensionais. As equações clássicas de fluxo apresentadas nesta seção são suficientes.

Fluxo Transiente Insaturado

Defina-se o grau de saturação θ’ como θ’ = θ/n, onde θ é o conteúdo de umidade e n é a porosidade. Para fluxo em um volume elementar de controle que só pode ser parcialmente saturado, a equação de continuidade deve revelar a taxa de variação temporal do teor de umidade, bem como a de mudança de armazenamento, devidas à expansão da água e à compactação do aquífero. O termo ρn na Eq. (2.71) torna-se ρnθ’, e a Eq. (2.72) se fica:

-\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x} -\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y} -\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z} = n\theta' \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\theta' \frac{\partial n}{\partial t} + n\rho \frac{\partial \theta '}{\partial t} (2.78)

Para fluxo insaturado, os primeiros dois termos do lado direita da Eq. (2.78) são muito menores do que o terceiro. Desprezando-se esses dois termos, cancelamento-se ρ de ambos os lados, inserindo-se a fórmula insaturada da Lei de Darcy [Eq. (2.41)] e reconhecendo-se que n dθ’ = , então, chega-se a:

\frac{\partial}{\partial x}\left[K(\psi)\frac{\partial h}{\partial x}\right] + \frac{\partial}{\partial y}\left[K(\psi)\frac{\partial h}{\partial y}\right] + \frac{\partial}{\partial z}\left[K(\psi)\frac{\partial h}{\partial z}\right] = \frac{\partial \theta}{\partial t}

É comum apresentar a Eq. (2.79) em uma forma em que a variável independente é tanto θ como ψ. Para o último caso, é necessário multiplicar a numerador e denominador da direita por ∂ψ. Então, relembrando a definição da capacidade de umidade específica C [Eq. (2.65)], e observando que h = ψ + z, obtém-se:

\frac{\partial}{\partial x}\left[K(\psi)\frac{\partial \psi}{\partial x}\right] + \frac{\partial}{\partial y}\left[K(\psi)\frac{\partial \psi}{\partial y}\right] + \frac{\partial}{\partial z}\left[K(\psi)(\frac{\partial \psi}{\partial z}+1)\right] = C(\psi)\frac{\partial \psi}{\partial t} (2.80)

A Equação (2.80) é a equação em função de ψ para fluxo transiente através de um meio poroso insaturado. É comumente chamada de equação de Richards, em honra ao físico de solo que a desenvolveu pela primeira vez (Richards, 1931). A solução de y(x, y, z, t) descreve a carga de pressão em qualquer ponto em um campo de fluxo a qualquer tempo. Ela pode ser facilmente convertida em uma solução para carga hidráulica h(x, y, z, t) por meio da relação h = ψ + z. A solução requer o conhecimento das curvas características K(ψ) e C(ψ), ou θ(ψ).

A conjugação da equação de fluxo insaturado [Eq. (2.80)] com a equação de fluxo saturado [Eq. (2.74)] foi tentada por Freeze (1971a) e por Narasimhan (1975). Melhorias na teoria sobre sistemas saturado-insaturado devem aguardar uma melhor compreensão do princípio da tensão efetiva na zona insaturada.

Problemas de Valores de Contorno

Um problema de valor de contorno é um modelo matemático. A técnica de análise inferida por este último termo é um processo em quatro etapas, envolvendo (1) examinação do problema físico, (2) substituição do problema físico por um equivalente problema matemático, (3) solução do problema matemático com técnicas aceitas de matemática e (4) a interpretação dos resultados matemáticos em termos do problema físico. Modelos matemáticos baseados na física do fluxo geralmente tomam a forma de problemas de valor de contorno iniciadas pelos desenvolvedores pioneiros da teoria do campo potencial como aplicados na física em problemas como condução de calor em sólidos (Carslaw & Jaeger, 1959).

Para se definir completamente um problema de valor de contorno transiente para fluxo em subsuperfície é preciso saber (1) o tamanho e a forma da região do fluxo, (2) a equação do fluxo dentro dessa região, (3) as condições de contorno nos limites dessa região, (4) as condições iniciais dessa região, (5) a distribuição espacial dos parâmetros hidrogeológicos que controlam o fluxo e (6) um método matemático de solução. Se o problema de valor de contorno for em um sistema de estado estacionário, a exigência (4) é removida.

Considere o problema simples de fluxo de água subterrânea ilustrado na Figura 2.25 (a). A região ABCD contém um meio poroso homogêneo e isotrópico de condutividade hidráulica K1. Os limites AB e CD são impermeáveis; as cargas hidráulicas sobre AD e BC são h0 e h1, respectivamente. Assumindo fluxo constante e definindo h0 = 100 m e h1 = 0 m, pode-se concluir por observação que a carga hidráulica no ponto E será 50 m. Aparentemente fez-se uso implícito as propriedades (1), (3) e (5) da lista acima; o método de solução (6) foi de inspeção. Não está claro que é necessário saber a equação do fluxo na região. Se se passar para um problema mais difícil, tal como o mostrado na Figura 2.25 (b) (uma barragem de terra descansando sobre uma base inclinada), o valor da carga hidráulica no ponto F não aparece tão facilmente. Aqui, é necessário recorrer-se a um método matemático de solução, o que exigiria conhecer a equação do fluxo.

Figura 2.25 Dois problemas de valor de contorno em estado estacionário num plano xy.

Os métodos de solução podem ser classificados aproximadamente em cinco abordagens: (1) solução por inspeção, (2) solução gráfica, (3) solução por modelo análogo, (4) solução por técnicas matemáticas analíticas e (5) solução por técnicas matemáticas numéricas. Foi visto acima um exemplo de solução por inspeção. Os métodos de construção da rede de fluxo apresentadas no Capítulo 5 podem ser vistos como soluções gráficas para os problemas de valor de contorno. Modelos analógicos elétricos são discutidos nos ítens 5.2 e 8.9. As soluções numéricas são a base de técnicas de simulação computacionais modernas, como descrito nos ítens 5.3 e 8.8.

A abordagem mais direta para a solução de problemas de valor de contorno é o de soluções analíticas. Muitas das técnicas padrões para águas subterrâneas apresentadas mais adiante neste livro baseiam-se em soluções de análise e por isso é pertinente examinar um exemplo simples. Considere mais uma vez o problema de valor de contorno da Figura 2.25 (a). A solução analítica é:

h(x, y) = h_0 - (h_0 - h_1)   \frac{x}{x_L} (2.81)

Esta é a equação de um conjunto de linhas equipotenciais que atravessam o campo ABCD paralelo aos limites ADe BC. Uma vez que as equipotenciais são paralelas ao eixo y, h não é função de y e y não aparece no lado direito da Eq. (2.81). No ponto E, x/xL = 0,5 e, se h0 = 100 m e h1 = 0 m como antes, então hE da Eq. (2.81) é 50 m, como esperado. No Apêndice III, a técnica de separação de variáveis é usada para obter a solução analítica da Eq. (2.81) e é mostrado que esta solução satisfaz a equação de fluxo e as condições de contorno.

2.12 Limitações de Abordagem Darciana

A Lei de Darcy fornece uma descrição precisa do fluxo de água subterrânea para quase todos os ambientes hidrogeológicos. Em geral, a Lei de Darcy funciona (1) para fluxo saturado e para insaturado, (2) para fluxo em estado estacionário e transiente, (3) para fluxo em aquíferos e aquitardes, (4) para fluxo em sistemas homogêneos e heterogêneos, (5) para escoamento em meios isotrópicos e anisotrópicos e (6) para rochas e meios granulares. Neste texto, será assumido que a Lei de Darcy é uma base válida para as análises quantitativas.

Apesar desta declaração tranquilizadora, ou talvez por causa dela, é importante examinar as limitações teóricas e práticas da abordagem Darciana. É necessário olhar para os pressupostos que fundamentam a definição de um continuum; examinar os conceitos de fluxo microscópico e macroscópico; investigar os limites superior e inferior da Lei de Darcy; e considerar os problemas específicos associados ao fluxo em rochas fraturadas.

Continuum Darciano e Volume Elementar Representativo

Na Seção 2.1, verificou-se que a definição de Lei de Darcy requer a substituição do conjunto real de grãos que constituem um meio poroso por um continuum representativo. Além disso, foi afirmado que esta abordagem continuum é realizada em escala macroscópica, em vez de escala microscópica. Se a Lei de Darcy é uma lei macroscópica, deve haver um limite inferior para o tamanho de um elemento do meio poroso para o qual ela é válida. Hubbert (1940) abordou este problema. Ele definiu o termo macroscópico com a ajuda da Figura 2.26. Este diagrama é um gráfico hipotético da porosidade de um meio poroso, uma vez que este poderia ser medido por amostras de volumes que aumentam V1, V2, . . . , tomadas no ponto P dentro de um meio poroso. Bear (1972) define o volume V3 na Figura 2.26 como volume elementar representativo. Ele observa que é um volume que deve ser maior do que um poro unitário. De fato, deve-se incluir um número suficiente de poros para permitir a média estatística significativa requerida em uma abordagem de continuum. Abaixo deste volume, não existe valor unitário que possa representar a porosidade em P. Ao longo deste texto, os valores de porosidade, de condutividade hidráulica e de compressibilidade referem-se a medidas que poderiam ser realizadas em uma amostra maior do que o volume elementar representativo. Em um sentido mais prático, referem-se a valores que podem ser medidos em tamanhos habituais de amostras de solo. Onde a escala de análise envolve volumes tais como V5 na Figura 2.26, que podem abranger mais do que um estrato em meios heterogêneos, a escala é por vezes chamada de megascópica.

O desenvolvimento de cada uma das equações de fluxo na Seção 2.11 incluiu a invocação da Lei de Darcy. Deve-se reconhecer que os métodos de análise que se baseiam em problemas de valor de contorno que envolvem estas equações se aplicam a uma escala macroscópica, em nível de continuum Darciano. Existem alguns fenômenos em água subterrânea, como o movimento de um traçador através de um meio poroso, que não podem ser analisados nesta escala. Por conseguinte, é necessário analisar a interrelação que existe entre a velocidade de Darcy (ou vazão específica), definida para o continuum macroscópico Darciano, e as velocidades microscópicas que existem na fase líquida do meio poroso.

Figura 2.26 Domínios microscópicos e macroscópicos e volume elementar representativo V3 (Hubbert, 1956; Bear, 1972).

Vazão Específica, Velocidade Macroscópica e Velocidade Microscópica

Este desenvolvimento será mais rigoroso se se diferenciar inicialmente, como Bear (1972), entre a porosidade volumétrica n, a qual foi definida na Secção 2.5, e a porosidade areal nA, que pode ser definida por qualquer seção transversal de um volume unitário como nA = Av/AT, onde Av é a área ocupada pelos vazios e AT é a área total. Como sugerido na Figura 2.27 (a), distintas seções transversais dentro de um dado volume unitário podem exibir porosidades reais diferentes nA1, nA2, . . . A porosidade volumétrica n é uma média das diferentes porosidades areais possíveis nAi.

Figura 2.27 Conceitos de porosidade areal (a) e (b) velocidade média de fluxo linear.

Para qualquer seção transversal A, a vazão específica v é definida a partir da Eq. (2.1), como:

v = \frac{Q}{A}

Pelo fluxo volumétrico Q ser dividido pela área total de seção transversal (tanto vazios como sólidos), esta velocidade é identificada como sendo pertinente à abordagem de continuum macroscópica. Na realidade, o fluxo passa apenas pela porção da área da seção transversal ocupada por vazios. Para a seção transversal A1, pode-se definir uma velocidade de \bar{v}_1 = Q/n_{A1}A que representa o fluxo volumétrico dividido pela área de seção transversal real através da qual ocorre o fluxo. Para as várias seções A1, A2, . . . pode-se definir \bar{v}_1, \bar{v}_2, . . . . Se se denotar sua média por \bar{v}, então:

\bar{v} = \frac{Q}{nA} = \frac{v}{n} = -\frac{-K}{n}\frac{\partial h}{\partial l}
(2.82)

A velocidade \bar{v} é conhecida sob uma variedade de nomes. Aqui será referida como velocidade linear média. Como Q, n e A são termos macroscópicos mensuráveis, então \bar{v} também o é. Deve ser enfatizado que \bar{v} não representa a velocidade média das partículas de água que viajam através dos espaços porosos. Estas verdadeiras velocidades microscópicas são geralmente maiores que \bar{v}, porque as partículas de água devem viajar por caminhos irregulares que são mais longos do que o caminho linearizado representado por \bar{v}. Isso é mostrado esquematicamente na Figura 2.27 (b). As verdadeiras velocidades microscópicas que existem nos canais de poros raramente são de interesse, que é de fato uma sorte, pois elas são em amplamente indeterminadas. Para todas as situações que serão consideradas neste texto, a velocidade v de Darcy e a velocidade linear média  \bar{v} serão suficientes.

Como uma base para explicação adicional de \bar{v}, considere um experimento onde um traçador é utilizado para determinar o tempo necessário para que uma massa de água subterrânea se mova uma pequena mas significativa distância AB ao longo de um percurso de escoamento. \bar{v} é definido como a razão entre a distância e o tempo de percurso, onde a distância é definida como a distância linear de A para B e o tempo é o tempo necessário para que o traçador viaje de A para B. À luz deste conceito de \bar{v}, Nelson (1968) sugeriu uma forma ligeiramente diferente da Eq. (2.82):

\bar{v} = \frac{Q}{\epsilon nA} = \frac{v}{\epsilon n}(2.83)

onde ε é uma constante empírica dependente das características do meio poroso. Os dados obtidos em experimentos de laboratório por Ellis et al. (1968) usando areias relativamente uniformes indicam valores de ε no intervalo entre 0,98 – 1,18. Valores de ε para areias não uniformes e para outros materiais não existem no atual presente. Em estudos de traçadores de água subterrânea e de contaminação de água subterrânea, a premissa quase universal não declarada é de que ε = 1. Para meio granular isso provavelmente introduz um pequeno erro. Em meios fraturados, essa premissa pode ter menos validade.

Limites Superiores e Inferiores da Lei de Darcy

Mesmo se se limitar a consideração de vazão específica em escala macroscópica através do continuum Darciano, pode haver limitações sobre a aplicabilidade da Lei de Darcy, que é uma lei linear. Se fosse universalmente válida, um gráfico de vazão específica v versus o gradiente hidráulico dh/dl revelaria uma relação linear para todos os gradientes entre 0 e ∞. Para fluxo através de materiais granulares existem pelo menos duas situações onde a validade dessa relação linear está em questão. A primeira diz respeito ao fluido através de sedimentos de baixa permeabilidade sob um gradiente muito baixo e a segunda diz respeito a grandes fluxos através de sedimentos de permeabilidades muito elevadas. Em outras palavras, pode haver tanto um limite inferior quanto um superior ao intervalo de validade da Lei de Darcy. Foi sugerido que uma forma mais geral da lei de fluxo em meio poroso poderia ser:

v = -K\left(\frac{dh}{dl}\right)^m(2.84)

Se m = 1, como acontece em todas as situações comuns, a lei de fluxo é linear e é chamada de Lei de Darcy; se m ≠ 1, a lei de fluxo não é linear e não deveria ser chamada de Lei de Darcy.

No caso de materiais de granulometria fina de baixa permeabilidade, com base em evidências de laboratório, foi sugerido que pode haver um limiar para o gradiente hidráulico abaixo do qual o fluxo não acontece. Swartzendruber (1962) e Bolt & Groene-velt (1969) analisaram as evidências e resumem as várias hipóteses que foram apresentadas para se explicar o fenômeno. Por enquanto, ainda não há acordo sobre o mecanismo e as evidências experimentais ainda estão abertas para algumas dúvidas. De qualquer modo, o fenômeno é de pouquíssima importância prática; sob gradientes considerados como possíveis limiares, o fluxo será extremamente reduzido para qualquer situação.

De maior importância prática é o limite superior da faixa de validade da Lei de Darcy. É reconhecido e aceito há vários anos (Rose, 1945; Hubbert, 1956) que em altas taxas de fluxo a Lei de Darcy não é válida. A evidência é revisada em detalhes por Todd (1959) e Bear (1972). O limite superior é geralmente identificado com a ajuda do número de Reynolds Re, um número adimensional que expressa a razão entre as forças inerciais e viscosas durante o fluxo. É amplamente utilizado na mecânica de fluidos para distinguir entre fluxo laminar para baixas velocidades e fluxo turbulento em altas velocidades. O número de Reynolds para fluxo através de meios porosos é definido como:

R_e = \frac{\rho vd}{\mu}(2.85)

onde ρ e μ são densidade do fluido e a viscosidade, respectivamente; v é a vazão específica, e d a dimensão de comprimento representativa para o meio poroso, variavelmente tomada como uma dimensão média de poros, um diâmetro médio de grãos ou alguma função da raiz quadrada da permeabilidade k. Bear (1972) resume a evidência experimental com a afirmação de que “a Lei de Darcy é válida enquanto o número de Reynolds, baseado no diâmetro médio de grãos, não exceda algum valor entre 1 e 10” (p. 126). Para este intervalo de número de Reynolds, todo fluxo através de meios granulares é laminar.

As taxas de fluxo que ultrapassem o limite superior da Lei de Darcy são comuns em formações rochosas como calcários e dolomitas cársticos e rochas vulcânicas com cavernas. As taxas de fluxos Darciano quase nunca são excedidas em rochas não cimentadas e materiais granulares. Rochas fraturadas (este termo será usado para se referir a rochas mais permeáveis ​​devido a juntas, fissuras, rachaduras ou quebras por qualquer origem genética) constituem um caso especial que merece uma atenção separada.

Fluxo em Rochas Fraturadas

A análise de fluxo em rochas fraturadas podem ser feita, quer com o método do continuum, que tem sido enfatizado até agora neste texto, ou com uma abordagem de não continuum, baseada na hidráulica de fluxo em fraturas individuais. Tal como acontece com meios porosos granulares, a abordagem de continuum envolve a substituição do meio fraturado por um continuum representativo onde os valores espacialmente definidos de condutividade hidráulica, porosidade e compressibilidade podem ser atribuídos. Esta abordagem é válida enquanto o espaçamento de fraturas é suficientemente denso para que o meio fraturado funcione de uma forma hidraulicamente semelhante aos meios porosos granulares. A conceituação é a mesma, embora o volume elementar representativo seja consideravelmente maior para os meios fraturados do que para os meios granulares. Se os espaçamentos de fratura são irregulares em uma determinada direção, o meio vai apresentar tendências de heterogeneidade. Se os espaçamentos de fratura são diferentes em uma direção do que em outra, o meio vai apresentar anisotropia. Snow (1968, 1969) mostrou que muitos problemas de fluxo em meio fraturado podem ser resolvidos usando técnicas padrão de meios porosos que utilizam a Lei de Darcy e um tensor de condutividade anisotrópica.

Se a densidade de fraturas é extremamente baixa, pode ser necessário analisar-se o fluxo em fissuras individuais. Esta abordagem é utilizada em aplicações geotécnicas onde análises de mecânica de rochas indicam que inclinações ou aberturas na rocha colapsar em razão de pressões de fluidos que se acumulam em fraturas críticas individuais. Os métodos de análise baseiam-se nos princípios habituais de mecânica de fluidos contidos nas equações de Navier-Stokes. Esses métodos não serão discutidos aqui. Wittke (1973) fornece uma revisão introdutória.

Mesmo limitando-se à abordagem do continuum, há mais dois problemas que devem ser atacados na análise do fluxo em rochas fraturadas. O primeiro é a questão do fluxo não Darciano em fraturas de grande abertura. Sharp e Maini (1972) apresentam dados laboratoriais que apoiam uma lei de fluxo não-linear para rocha fraturada. Wittke (1973) sugere que leis de fluxo separadas sejam especificadas para o intervalo laminar-linear (intervalo de Darcy), para um intervalo laminar não-linear e para um intervalo de turbulência. A Figura 2.28 coloca estes conceitos no contexto de uma curva esquemática de vazão específica versus gradiente hidráulico. Em fraturas de rocha largas, as vazões específicas e os números de Reynolds são altos, os gradientes hidráulicos são usualmente menores que 1 e o expoente m na Eq. (2.84) é maior que 1. Estas condições conduzem a uma deflexão para baixo na curva na Figura 2.28.

Figura 2.28 Intervalo de validade da Lei de Darcy.

O segundo problema refere-se à interação do campo de tensão tridimensional e do campo de fluxo de fluido tridimensional em rocha. A exigência teórica geral para o acoplamento desses dois campos foi brevemente discutida na Seção 2.11, onde foi feita referência ao clássico trabalho de Biot (1941, 1955) para fluxo em meios porosos. Para rocha fraturada, no entanto, há uma complicação adicional. Devido à porosidade da rocha fraturada ser tão baixa, as expansões e contrações de aberturas das fraturas que ocorrem sob influência de mudanças na tensão afetam os valores de condutividade hidráulica K. A interação entre a pressão do fluido ρ(x, y, z, t), ou carga hidráulica ρ(x, y, z, t), e a tensão eficaz σe(x, y, z, t) é então complicada pelo fato de K ter de ser representado por uma função K(σe). A análise de tais sistemas, bem como a determinação experimental da natureza da função K(σe) é um assunto continuado de pesquisa nas áreas de mecânica de rochas e hidrologia de água subterrânea.

Muitos pesquisadores envolvidos na aplicação da teoria de águas subterrâneas em mecânica de rochas propuseram fórmulas que relacionam a porosidade de fraturas nf e a condutividade hidráulica K das rochas articuladas à geometria dessas juntas. Snow (1968) observa que, para um arranjo paralelo de juntas planas de abertura b, com N juntas por unidade de distância em toda a face da rocha, nf = Nb, e:

K = \left(\frac{\rho g}{\mu}\right) \left(\frac{Nb^3}{12}\right)(2.86)

k = \frac{Nb^3}{12}(2.87)

onde k é a permeabilidade da rocha. N e b têm dimensões 1/L e L, respectivamente, de modo que k tem unidades L2, como deveria. A Equação (2.86) baseia-se na hidrodinâmica de fluxo em um conjunto de juntas planas. Mantém-se no intervalo laminar-linear onde a Lei de Darcy é válida. Deve ser aplicada a um bloco de rocha de tamanho suficiente para que este atue como um continuum Darciano. A permeabilidade k, calculada com a Eq. (2.87), pode ser considerada como a permeabilidade de um meio poroso equivalente; aquele que atua hidraulicamente como uma rocha fraturada.

Snow (1968) afirma que um sistema cúbico de fraturas cria um sistema isotrópico com uma porosidade nf = 3Nb e uma permeabilidade duas vezes a permeabilidade que qualquer um dos seus conjuntos contribuiriam; ou seja, nf = Nb3/6. Snow (1969) também fornece interrelações preditivas entre a porosidade e o tensor de permeabilidade para geometrias de juntas tridimensionais, onde espaçamentos de fraturas ou aberturas diferem com a direção. Sharp e Maini (1972) fornecem uma discussão mais aprofundada das propriedades hidráulicas de rochas fraturadas anisotrópicas.

2.13 Dispersão Hidrodinâmica

É cada vez mais comum na investigação de sistemas de fluxo de água subterrânea ver o regime de fluxo em termos de sua capacidade de transporte de substâncias dissolvidas conhecidas como solutos. Estes solutos podem ser constituintes naturais, traçadores artificiais ou contaminantes. O processo onde os solutos são transportados pelo movimento do fluxo de águas subterrâneas é conhecido como advecção. Devido à advecção, solutos não reativos são levados a uma velocidade média igual à velocidade linear média \bar{v} da água subterrânea. Há uma tendência, no entanto, para o soluto se espalhar para fora do caminho que seria esperado seguir de acordo com a hidráulica advectiva do sistema de fluxo. Este fenômeno de espalhamento é chamado de dispersão hidrodinâmica. Isso causa a diluição do soluto. A dispersão ocorre por causa da mistura mecânica durante a advecção do fluido e por causa da difusão molecular devido à energia termo-cinética das partículas do soluto. A difusão, que é um processo de dispersão de importância apenas em velocidades baixas, é descrita na Seção 3.4. A ênfase desta discussão está na dispersão, que é causada inteiramente pelo movimento do fluido. Isto é conhecido como dispersão mecânica (ou dispersão hidráulica). A Figura 2.29 mostra um exemplo esquemático dos resultados deste processo de dispersão em um meio granular homogêneo.

A dispersão mecânica é mais facilmente vista como um processo microscópico. Na escala microscópica, a dispersão é causada por três mecanismos (Figura 2.30). A primeira ocorre nos canais de poros individuais, pois as moléculas viajam a velocidades diferentes em diferentes pontos através desses canais devido ao arrasto exercido sobre o fluido pela aspereza das superfícies dos poros. O segundo processo é causado pela diferença de tamanho dos poros ao longo das vias de fluxo seguidas pelas moléculas de água. Devido às diferenças na área da superfície e nas asperezas em relação ao volume de água em canais de poros individuais, diferentes canais de poros têm diferentes velocidades de fluido.

O terceiro processo dispersivo está relacionado à tortuosidade, à ramificação e à interdigitação dos canais dos poros. A difusão do soluto na direção do fluxo é conhecida como dispersão longitudinal. O espalhamento em direções perpendiculares ao fluxo é chamado de dispersão transversal. A dispersão longitudinal é normalmente muito mais forte que a dispersão lateral.

Figura 2.29 Representação esquemática de processos de diluição causados pela dispersão mecânica em meio poroso granular..

A dispersão é um processo de mistura. Qualitativamente, tem um efeito semelhante à turbulência nos regimes de água superficial. Para meios porosos, os conceitos de velocidade média linear e dispersão longitudinal estão intimamente relacionados. A dispersão longitudinal é o processo onde algumas das moléculas de água e de soluto viajam mais rapidamente que a velocidade linear média e algumas viajam mais lentamente. Assim, o soluto se espalha na direção de fluxo, diminuindo a sua concentração.

Figura 2.30 Processos de dispersão em uma escala microscópica.

Quando um experimento de traçador é feito em laboratório, a única dispersão que pode ser medida é aquela observável em escala macroscópica. Assume-se que este resultado macroscópico seja produzido pelos processos microscópicos descritos acima. Alguns pesquisadores acreditam que heterogeneidades na escala macroscópica podem causar dispersão adicional naquelas causadas pelos processos microscópicos. O conceito de dispersão macroscópica ainda não está bem compreendido. Processos dispersivos são aprofundados no Capítulo 9.

Leituras Sugeridas

BEAR, J. 1972. Dynamics of Fluids in Porous Media. American Elsevier, New York, pp. 15–24, 52–56, 85–90, 122–129, 136–148.

HUBBERT, M. K. 1940. The theory of groundwater motion. J. Geol., 48, pp. 785–822.

JACOB, C. E. 1940. On the flow of water in an elastic artesian aquifer. Trans. Amer. Geophys. Union, 2, pp. 574–586.

MAASLAND, M. 1957. Soil anisotropy and land drainage. Drainage of Agricultural Lands ed. J. N. Luthin. American Society of Agronomy, Madison, Wisc., pp. 216–246.

SKEMPTON, A. W. 1961. Effective stress in soils, concrete and rocks. Conference on Pore Pressures and Suction in Soils. Butterworth, London, pp. 4–16.

STALLMAN, R. W. 1964. Multiphase fluids in porous media-a review of theories pertinent to hydrologic studies. U.S. Geol. Surv. Prof Paper 411E.

VERRUIJT, A. 1969. Elastic storage of aquifers. Flow Through Porous Media, ed. R. J. M. De Wiest. Academic Press, New York, pp. 331–376.

Problemas

  1. As seguintes anotações de campo foram feitas em um grupo de piezômetros instalados lado a lado em um único local:

    Piezômetro a b c
    Elevação da superfície (m a. n. m.) 450 450 450
    Profundidade do piezômetro (m) 150 100 50
    Profundidade da água (m) 27 47 36

    Considerando A, B e C como os pontos de medições dos piezômetros a, b e c. Calcule:

    1. A carga hidráulica em A, B e C (m).
    2. A carga de pressão em A, B e C (m).
    3. A carga de elevação em A, B e C (m).
    4. A pressão de fluido em B (N/m2).
    5. Sobre os gradientes hidráulicos entre A e B, e entre B e C, é possível indicar a situação hidrogeológica que levaria às direções de fluxos indicados por esses dados?

  1. Desenhe diagramas com duas situações reais de campo onde três piezômetros instalados lado a lado, mas a profundidades diferentes, tenham a mesma elevação do nível de água.
  1. Três piezômetros estão locados a 1.000 m um do outro atingindo a parte inferior de um mesmo aquífero. O piezômetro A está localizado a sul do piezômetro B, e o piezômetro C está a leste da linha AB. As altitudes da superfície de A, B e C são 95, 110 e 135 m, respectivamente. A profundidade da água em A é 5 m , em B é 30 m e em C é 35 m. Determine a direção do fluxo da água subterrânea através do triângulo ABC e calcule o gradiente hidráulico.
  1. Mostre que o potencial de fluido Φ é um termo de energia utilizando uma análise dimensional na equação Φ = gz + p/ρ. Faça isso tanto para o sistema de unidades SI, quanto para o sistema imperial de unidades FPS.
  2. Três formações, cada uma com 25 m de espessura, estão superpostas. Se um campo de fluxo vertical de velocidade constante for configurado através dessas formações com h = 120 m no topo e h = 100 m na base, calcule h nos dois limites internos. A condutividade hidráulica da formação superior é 0,0001 m/s, da formação intermediária é 0,0005 m/s e da formação basal 0,0010 m/s.
  1. Uma formação geológica tem uma permeabilidade de 0,1 darcy (como determinada pela companhia de petróleo para o fluxo de óleo). Qual é a condutividade hidráulica da formação para o fluxo de água? Apresente sua resposta em m/s e em gal/dia/pé2. Qual tipo de rocha provavelmente poderia ser?
    1. Quatro formações geológicas horizontais, homogêneas e isotrópicas, cada uma com 5 m de espessura, se sobrepõem. Se as condutividades hidráulicas são 10-4, 10-6, 10-4 e 10-6 m/s, respectivamente, calcule as componentes horizontal e vertical da condutividade hidráulica de cada formação homogênea-mas-anisotrópica equivalente.
    2. Repita os cálculos para condutividades hidráulicas 10-4, 10-8, 10-4 e 10-8 m/s, e para condutividades hidráulicas 10-4, 10-10, 10-4 e 10-10 m/s. Coloque os resultados desses três conjuntos de cálculos em uma tabela relacionando ordens de grandeza das heterogeneidades estratificadas a anisotropias equivalentes resultantes.

    1. A partir das definições volumétricas de porosidade e índice de vazio, desenvolva as relações dadas na Eq. (2.40).
    2. A porosidade é mesmo maior que o índice de vazios quando ambos são medidos na mesma amostra de solo?

  1. A elevação da superfície em um local de medição de umidade do solo é 300 cm. O solo é uma areia, e suas propriedades insaturadas são representadas pelas curvas de secagem da Figura 2.13. Desenhe um conjunto qualitativamente preciso de perfis verticais do teor de umidade, carga de pressão e carga hidráulica versus profundidade (como na Figura 2.12) para uma profundidade de 200 cm, de acordo com as seguintes condições:
    1. O teor de umidade é 20% ao longo do perfil.
    2. A carga de pressão é – 50 cm ao longo do perfil.
    3. A carga hidráulica é 150 cm ao longo do perfil (caso estático).

    Para os casos (a) e (b), calcule os gradientes hidráulicos e a taxa de fluxo através do perfil. Para o caso (c), determine a profundidade do nível freático.

  1. Dada uma superfície potenciométrica com uma declividade regional de 7 m/km, calcule a taxa natural de descarga da água subterrânea através de um aquífero confinado com transmissividade T = 0,002 m2/s.
  1. Mostre pela análise dimensional da equação S = ρgb(α+ηβ) que o armazenamento é adimensional.
    1. Um aquífero horizontal é coberto por uma camada saturada de argila de 50 pés de espessura. O peso específico (ou peso seco unitário) da argila é 120 lb/ft3. O peso específico da água é 62,4 lb/ft3. Calcule a tensão total que age no topo do aquífero.
    2. Se a carga de pressão no aquífero é 100 ft, calcule a tensão efetiva no aquífero.
    3. Se o aquífero for bombeado e a carga hidráulica em um ponto for reduzida 10 pés, qual será a mudança resultante na carga de pressão, na pressão de fluido, na tensão efetiva e na tensão total?
    4. Se a compressibilidade do aquífero for 10-6 ft2/lb e sua espessura for 25 pés, quanto de compactação o aquífero sofrerá durante a redução de carga na parte (c)?
    5. Se a porosidade e condutividade hidráulica do aquífero são 0,30 e 10 gal/dia/ft2, respectivamente, calcule a transmissividade e o armazenamento do aquífero. A compressibilidade da água é 2,1 × 10-8 ft2/lb.

  1. Revise os problemas que aparecem na definição ou uso dos seguintes termos clássicos de água subterrânea: superfície potenciométrica, permeabilidade e velocidade de fluxo de água subterrânea.