Reticolo di flusso

Traduzione: Emma Petrella (Italy) e Luisa Stellato (Italy)
Revisione: Andrea Zanini (Italy)

5.1 Costruzione grafica del reticolo di flusso

Nel Capitolo 2 abbiamo visto che un sistema di flusso di acque sotterranee può essere rappresentato da un insieme tridimensionale di superfici equipotenziali e da una corrispondente serie di linee di flusso ortogonali ad esse. Se nel sistema tridimensionale si sceglie una significativa sezione trasversale bidimensionale, le linee equipotenziali e le linee di flusso che si ottengono costituiscono il reticolo di flusso. La costruzione del reticolo di flusso è uno dei più potenti strumenti analitici per l’analisi del flusso nelle acque sotterranee.

Nella Sezione 2.11 e in Figura 2.25, abbiamo visto che il reticolo di flusso può essere visto come la soluzione di una equazione differenziale con condizioni al contorno note (boundary value problem) in due dimensioni in regime stazionario. La soluzione richiede la conoscenza del dominio di flusso, le relative condizioni al contorno, e la distribuzione spaziale della conducibilità idraulica all’interno del dominio. Nell’Appendice III viene presentato un metodo matematico analitico della soluzione. In questa sezione, impareremo che i reticoli di flusso possono anche essere costruiti graficamente, senza il ricorso a sofisticati strumenti matematici.

Sistemi omogenei e isotropi

In primo luogo consideriamo un dominio di flusso omogeneo, isotropo e completamente saturo. In condizioni di flusso in regime stazionario in questo dominio, possono esistere tre tipi di condizioni al contorno: (1) confini impermeabili, (2) confini a carico costante, (3) confini della superficie idrica. Innanzitutto consideriamo il flusso in prossimità di un limite impermeabile [Figura 5.1 (a)]. Poiché non ci può essere flusso attraverso il limite, le linee di flusso in prossimità di esso devono necessariamente essere parallele, mentre le linee equipotenziali devono formare un angolo retto con esso. Richiamando la legge di Darcy e ponendo la portata specifica lungo il limite pari a zero, si arriva all’assunto matematico delle condizioni a contorno. Per i confini che sono paralleli agli assi in un piano xz:

$\frac{\partial h}{\partial x} = 0 \hspace{1cm} \text{o} \hspace{1cm} \frac{\partial h}{\partial z} = 0$ (5.1)

**Figura 5.1** Flusso delle acque sotterranee in prossimità di (a) un confine impermeabile, (b) un confine a carico costante, e (c) un confine imposto dalla superficie idrica.

In effetti, ciascuna linea di flusso in un reticolo costituisce un limite impermeabile immaginario, attraverso il quale non c’è flusso. Nella costruzione del reticolo di flusso è spesso auspicabile ridurre la dimensione del dominio di flusso, considerando soltanto quelle porzioni del dominio da un lato e dall’altro di una linea di simmetria. Se è chiaro che la linea di simmetria è anche una linea di flusso, la condizione al contorno da imporre sul limite simmetrico è quella della Eq. (5.1).

Un limite sul quale il carico idraulico è costante [Figura 5.1 (b)] è una linea equipotenziale. Le linee di flusso devono intersecare i confini del dominio formando un angolo retto, e le linee equipotenziali adiacenti devono essere parallele al limite. Da un punto di vista matematico:

h = c (5.2)

Sulla superficie idrica, l’altezza piezometrica, ψ, è uguale a zero, e la semplice relazione di carico, h = ψ + z, diventa:

h = z (5.3)

per la condizione al contorno. Come mostrato in Figura 5.1 (c), per un caso di ricarica, la superficie idrica non è né una linea di flusso, né una linea equipotenziale. È semplicemente una linea con h variabile ma nota.

Se è nota la conducibilità idraulica K del mezzo in un dominio di flusso omogeneo ed isotropo, è possibile calcolare la portata che attraversa il sistema dal reticolo di flusso. In Figura 5.2 è rappresentato un reticolo di flusso completo per il caso semplice presentato in Figura 2.25 (a). L’area tra due linee di flusso adiacenti è nota come tubo di flusso. Se le linee di flusso sono equidistanti, la portata attraverso ciascun tubo di flusso è la medesima. Consideriamo ora il flusso attraverso il dominio ABCD di Figura 5.2. Se le distanze AB e BC sono indicate rispettivamente come ds e dm, e se la perdita di carico idraulico tra AD e BC è dh, la portata del dominio che attraversa l’area della sezione trasversale di profondità unitaria perpendicolare alla pagina è:

$dQ = K\frac{dh}{ds}dm$ (5.4)

**Figura 5.2** Reticolo di flusso quantitativo per un sistema molto semplice.

In condizioni stazionarie, la portata attraverso qualsiasi piano di spessore unitario all’interno del tubo di flusso (ad esempio lungo AD, EH, o FG), deve essere dQ. In altre parole, la portata attraverso qualsiasi parte del tubo di flusso può essere calcolata considerando il flusso in un solo elemento del tubo.

Se arbitrariamente decidiamo di costruire il reticolo di flusso in quadrati, con ds = dm, allora l’Eq. (5.4) diventa

$dQ = K dh$ (5.5)

Per un sistema con m tubi di flusso, la portata totale è

$Q = mK dh$ (5.6)

Se la perdita di carico totale attraverso il dominio di flusso è H e ci sono n partizioni del carico nel reticolo di flusso (H = n dh), allora

$Q = \frac{mKH}{n}$ (5.7)

Nella Figura 5.2, m = 3, n = 6, H = 60 m, e dall’Eq. (5.7), la Q = 30 K. Per K = 10^-4 m/s, Q = 3 × 10^-3 m³/s (per metro di sezione perpendicolare al reticolo di flusso).

L’Equazione (5.7) deve essere utilizzata con attenzione. Infatti è applicabile solo a sistemi di flusso semplici, con un solo confine di ricarica ed uno in cui si ha una portata in uscita. Per sistemi più complessi, è meglio calcolare semplicemente dQ per uno tubo di flusso e moltiplicare per il numero di tubi di flusso per ottenere Q.

La Figura 5.3 è un reticolo di flusso che mostra l’infiltrazione sotto una diga attraverso una roccia delimitata in profondità da un limite impermeabile. Questo caso può essere utilizzato per creare tre punti aggiuntivi relativi alla costruzione del reticolo di flusso.

**Figura 5.3** Infiltrazione sotto una diga, attraverso un mezzo omogeneo ed isotropo.

I “quadrati” di tutti i reticoli di flusso, eccetto quelli elementari, sono in realtà quadrati “curvilinei”; cioè hanno dimensioni centrali uguali; o visti in un altro modo, racchiudono un cerchio che è tangente a tutte e quattro le linee di delimitazione.
Non è necessario che i reticoli di flusso abbiano limiti finiti in tutti i lati; sono gestibili i domini di flusso che si estendono all’infinito in una o più direzioni, come lo strato infinito orizzontalmente in Figura 5.3.
Un reticolo di flusso può essere costruito come un tubo di flusso “parziale” sul margine.

Nel reticolo di flusso mostrato in Figura 5.3, $m = 3\frac{1}{2}$ . Se H = 100 m e K = 10^-4 m/s, allora, poiché n = 6, si ha che Q = 5,8 × 10^-3m³/s (per metro di sezione perpendicolare al reticolo di flusso).

In un mezzo omogeneo e isotropo, la distribuzione del carico idraulico dipende solo dalla configurazione delle condizioni al contorno. La natura qualitativa del reticolo di flusso è indipendente dalla conducibilità idraulica del mezzo. La conducibilità idraulica entra in gioco solo quando si vuole determinare la portata. Vale anche la pena notare che i reticoli di flusso sono adimensionali. I reticoli di flusso delle Figura 5.2 e 5.3 sono ugualmente validi sia che i domini di flusso siano dell’ordine di pochi metri quadrati che dell’ordine di migliaia di metri quadrati.

Il disegno del reticolo di flusso è un’arte. Di solito si persegue l’obiettivo sulla base di tentativi. Alcuni idrologi diventano molto talentuosi nel raggiungere rapidamente una configurazione accettabile del reticolo di flusso. Per altri è fonte di continua frustrazione. Per un reticolo di flusso in mezzi isotropi e omogenei, le regole della costruzione grafica sono apparentemente semplici. Possiamo riassumerle come segue: (1) le linee di flusso e le linee equipotenziali devono intersecarsi secondo un angolo retto in tutto il sistema; (2) le linee equipotenziali devono formare un angolo retto con i limiti impermeabili; (3) le linee equipotenziali devono essere parallele ai limiti a carico costante; e (4) se il reticolo di flusso viene disegnato in modo che vengano creati dei quadrati in una porzione del campo, allora i quadrati devono essere presenti in tutto il campo, con l’eventuale eccezione dei tubi di flusso parziali sul bordo.

Sistema eterogeneo e legge della tangente

Quando le linee di flusso attraversano un limite geologico tra due formazioni con valori di conducibilità idraulica diversi, si rifrangono, proprio come la luce quando passa da un mezzo ad un altro. Tuttavia, in contraddizione con la legge di Snell, che è una legge sinusoidale, la rifrazione delle acque sotterranee obbedisce alla legge della tangente.

Considerando il tubo di flusso mostrato in Figura 5.4, il flusso procede da un mezzo con una conducibilità idraulica K₁ ad un mezzo con una conducibilità idraulica K₂, dove K₂ > K₁.

**Figura 5.4** Rifrazione delle linee di flusso in prossimità di un limite geologico.

Il tubo di flusso ha una profondità unitaria perpendicolare alla pagina e gli angoli e le distanze sono indicati in figura. Per il flusso stazionario, la portata in ingresso Q₁ deve essere uguale a quella in uscita Q₂; o, dalla legge di Darcy,

$K_1a\frac{dh_1}{dl_1} = K_2c\frac{dh_2}{dl_2}$ (5.8)

Dove dh₁ è la perdita di carico lungo la distanza dl₁ e dh₂ è la perdita di carico lungo la distanza dl₂. Poiché dl₁ e dl₂ delimitanole stesse due linee equipotenziali, è chiaro che dh₁ = dh₂; e da un punto di vista geometrico, a = b cos θ₂. Poiché b/dl₁ = 1/sinθ₁ e b/dl₂ = 1/sinθ₂, l’Eq. (5.8) diventa

$K_1\frac{\cos \theta_1}{\sin \theta_1} = K_2\frac{\cos \theta_2}{\sin \theta_2}$ (5.9)

$\frac{K_1}{K_2} = \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$ (5.10)

L’equazione (5.10) costituisce la legge della tangente per la rifrazione delle linee di flusso delle acque sotterranee lungo un limite geologico in mezzi eterogenei. Conoscendo K₁, K₂ e θ₁, si può risolvere l’Eq. (5.10) per θ₂. La Figura 5.5 mostra le rifrazioni delle linee di flusso per due casi con K₁/K₂ = 10. Le linee di flusso, come se fossero capaci di ragionare, preferiscono utilizzare formazioni ad alta permeabilità come condotti, e cercano di attraversare formazioni a bassa permeabilità utilizzando la strada più breve. Nei sistemi acquifero-acquitardo in cui sono presenti strati semipermeabili (aquitard) con contrasti di permeabilità di 2 o più ordini di grandezza, le linee di flusso tendono a diventare quasi orizzontali negli acquiferi e quasi verticali negli aquitard. Quando si considera l’ampio intervallo dei valori di conducibilità idraulica mostrati nella Tabella 2.2, è chiaro che contrasti di permeabilità di 2 o più ordini di grandezza non sono così rari.

**Figura 5.5** Rifrazione delle linee di flusso in sistemi stratificati (dopo Hubbert, 1940).

Se si tenta di disegnare le linee equipotenziali per completare i sistemi di flusso sui diagrammi della Figura 5.5, diventerà subito chiaro che non è possibile costruire quadrati in tutte le formazioni. Nei sistemi eterogenei, i quadrati in una formazione diventano rettangoli in un’altra.

Possiamo riassumere le regole per la costruzione grafica del reticolo di flusso in sistemi eterogenei e isotropi come segue: (1) le linee di flusso e le linee equipotenziali devono intersecarsi ad angolo retto in tutto il sistema; (2) le linee equipotenziali devono incontrare i confini impermeabili formando un angolo retto; (3) le linee equipotenziali devono essere parallele ai limiti a carico costante; (4) la legge della tangente deve essere soddisfatta lungo i limiti geologici; e (5) se il reticolo di flusso è disegnato così che i quadrati siano costruiti in una porzione di una formazione, questi devono essere presenti in tutta la formazione e in tutte le formazioni con la stessa conducibilità idraulica. Rettangoli verranno creati nelle formazioni a diversa conducibilità.

Le ultime due regole rendono estremamente difficile disegnare accuratamente un reticolo di flusso quantitativo in sistemi eterogenei complessi. Tuttavia reticoli di flusso qualitativi, in cui l’ortogonalità è preservata ma non viene fatto alcun tentativo di creare quadrati, possono essere di grande aiuto nella comprensione di un sistema di flusso sotterraneo. La Figura 5.6 è la rappresentazione qualitativa del reticolo di flusso per il problema della filtrazione sotto una diga introdotto precedentemente nella Figura 5.3, ma con una roccia del basamento stratificata.

**Figura 5.6** Infiltrazione sotto una diga attraverso rocce del basamento eterogenee ed isotrope.

Sistema anisotropo e la sezione trasformata

In un mezzo omogeneo, ma anisotropo, la costruzione del reticolo di flusso è complicata dal fatto che le linee di flusso e le linee equipotenziali non sono ortogonali tra loro. Maasland (1957), Bear e Dagan (1965) e Liakopoulos (1965b) argomentano sui principi teorici che sono alla base di questo fenomeno, e Bear (1972) ne presenta un’ampia rassegna teorica. In questa sezione, esamineremo principalmente la risposta pratica che è stata escogitata per aggirare le condizioni di non-ortogonalità. Ciò implica la costruzione del reticolo nella sezione trasformata.

Consideriamo il flusso in un dominio bidimensionale in un mezzo omogeneo, anisotropo con conducibilità idrauliche principali K_x e K_z. L’ellisse di conducibilità idraulica (Figura 5.7) avrà semiassi $\sqrt{K_x}$ e $\sqrt{K_z}$ .

**Figura 5.7** Ellisse di conducibilità idraulica per un mezzo anisotropo con *K_x*/*K_z* = 5. I cerchi rappresentano due possibili trasformazioni isotrope.

Trasformiamo la scala del dominio di flusso così che le coordinate nel domino trasformato nel sistema X e Z, saranno correlate a quelle del sistema di origine xz attraverso

$X = x$
(5.11)

$Z = \frac{z\sqrt{K_x}}{\sqrt{K_z}}$

Per K_x > K_z, questa trasformazione espanderà la scala verticale del dominio di flusso. Anche l’ellisse di conducibilità idraulica sarà espansa in un cerchio di raggio $\sqrt{K_x}$ (il cerchio esterno nella Figura 5.7); e il dominio di flusso fittizio ed espanso si comporterà quindi come se fosse omogeneo con una conducibilità K_x.

La validità di questa trasformazione può essere provata sulla base dell’equazione del flusso in regime stazionario. Nel sistema originale di coordinate xz, per un mezzo anisotropo, abbiamo, dall’Eq. (2.69),

$\frac{\partial}{\partial x}\left(K_x\frac{\partial h}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(K_z\frac{\partial h}{\partial x}\right) = 0$
(5.12)

Dividendo per K_x si ottiene

$\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{K_z}{K_x}\frac{\partial h}{\partial x}\right) = 0$ (5.13)

Per la sezione trasformata, abbiamo, dalla seconda espressione di Eq. (5.11),

$\frac{\partial}{\partial z} + \frac{\sqrt{K_x}}{\sqrt{K_z}}\frac{\partial}{\partial Z}$
(5.14)

Osservando la prima espressione di Eq. (5.11), e applicando l’operazione dell’Eq. (5.14) alle due derivate parziali di Eq. (5.13), si ottiene

$\frac{\partial^2 h}{\partial X^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial Z^2} = 0$ (5.15)

che corrisponde all’equazione di flusso per un mezzo omogeneo e isotropo in una sezione trasformata.

Una trasformazione altrettanto valida potrebbe essere ottenuta contraendo il dominio nella direzione x in base alle relazioni

$X = \frac{x\sqrt{K_z}}{\sqrt{K_x}}$
(5.16)

$Z = z$

In questo caso, l’ellisse di conducibilità verrà trasformato nel cerchio più piccolo nella Figura 5.7, e il mezzo fittizio trasformato si comporterà come se fosse omogeneo con conducibilità idraulica K_z.

Una volta impadroniti del concetto di sezione trasformata, i passaggi nella costruzione grafica di un reticolo di flusso in un mezzo omogeneo e anisotropo diventano evidenti: (1) eseguire una trasformazione di coordinate usando l’Eq. (5.11) o l’Eq. (5.16); (2) costruire un reticolo di flusso nella sezione fittizia trasformata, secondo le regole per un mezzo omogeneo e isotropo; e (3) invertire il rapporto di scala.

**Figura 5.8** (a) Problema di flusso in un dominio omogeneo e anisotropo con $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} = 4$ . (b) Reticolo di flusso nella sezione isotropa trasformata. (c) Reticolo di flusso nella sezione anisotropa reale. T, trasformazione; I, inversione.

**Figura 5.8** (a) Problema di flusso in un dominio omogeneo e anisotropo con $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} = 4$ . (b) Reticolo di flusso nella sezione isotropa trasformata. (c) Reticolo di flusso nella sezione anisotropa reale. T, trasformazione; I, inversione.

La Figura 5.8 è un esempio di questa tecnica. Il boundary value problem illustrato nella Figura 5.8 (a) è una sezione verticale che rappresenta il flusso da un bacino superficiale con h = 100 verso un dreno con h = 0. Il dreno è considerato come uno di molti dreni paralleli posti ad una profondità simile orientati perpendicolarmente alla pagina. I confini verticali impermeabili sono “immaginari”; essi sono creati dalla simmetria del sistema di flusso complessivo. Il limite inferiore è un vero confine e rappresenta la base del suolo superficiale, che è limitato alla base da un terreno o una formazione rocciosa con una conducibilità di diversi ordini di grandezza inferiore. Se l’asse verticale è impostato arbitrariamente con z = 0 per il dreno e z = 100 per la superficie, allora da h = ψ + z, e dati i valori di h si ha che ψ = 0 in entrambi i confini. In superficie, questa condizione implica che il suolo sia saturo. Il bacino sta per formarsi; ha profondità pari a zero. Al dreno, ψ = 0 implica condizioni di flusso libero. Il suolo nel campo di flusso ha una conduttività anisotropa di K_x/K_z = 16. La sezione trasformata di Figura 5.8 (b) ha quindi un’espansione verticale di $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} = 4$ . Figura 5.8 (c) mostra il risultato della trasformazione inversa, in cui il reticolo di flusso isotropo e omogeneo dalla sezione trasformata viene riportato nella regione di flusso a scala reale. Secondo l’inversione, il carico idraulico in qualsiasi punto (X, Z) nella Figura 5.8 (b) diventa il carico idraulico nel punto (x, z) nella Figura 5.8 (c).

La dimensione della sezione trasformata dipende ovviamente dal fatto che si usi l’Eq. (5.11) oppure l’Eq. (5.16) per la trasformazione, ma la forma del dominio e il reticolo di flusso risultante sono uguali in entrambi i casi.

Qualora siano richieste le portate in uscita o le velocità di flusso, è più semplice effettuare questi calcoli nella sezione trasformata. Sorge quindi la domanda su quale debba essere il valore di conducibilità idraulica da utilizzare per tali calcoli. È chiaro che non sarebbe corretto usare K_x, per una sezione estesa verticalmente e K_z, per una contratta orizzontalmente, come si potrebbe dedurre dalla Figura 5.7, poiché ciò produrrebbe due serie diversi di calcoli quantitativi per le due rappresentazioni equivalenti dello stesso problema. Infatti, il valore corretto da usare è

$K' = \sqrt{K_x \cdot K_z}$ (5.17)

La validità dell’Eq. (5.17) si basa sulla condizione che i flussi in ciascuna delle due rappresentazioni trasformate del dominio di flusso debbano essere uguali. La dimostrazione richiede l’applicazione della legge di Darcy ad un singolo tubo di flusso in ciascuna delle due trasformazioni.

L’influenza dell’anisotropia sulla natura dei reticoli di flusso delle acque sotterranee è illustrata nella Figura 5.9 per lo stesso boundary value problem che è stato introdotto nella Figura 5.8. La caratteristica più importante dei reticoli di flusso anisotropi [Figura 5.9 (a) e 5.9 (c)] è la loro mancanza di ortogonalità. Ci sembra che le tecniche di trasformazione introdotte in questa sezione forniscano una spiegazione indiretta ma soddisfacente di questo fenomeno.

**Figura 5.9** Rappresentazione dei reticoli di flusso per il problema della Figura 5.8 (a) per $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} =$ (a) ¼, (b) 1, (c) 4 (dopo Maasland, 1957).

**Figura 5.9** Rappresentazione dei reticoli di flusso per il problema della Figura 5.8 (a) per $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} =$ (a) ¼, (b) 1, (c) 4 (dopo Maasland, 1957).

Ci sono molte situazioni in cui si potrebbe desiderare di costruire un reticolo di flusso sulla base dei dati piezometrici presi in campo. Se le formazioni geologiche sono note essere anisotrope, bisogna avere molta cura nel desumere la direzione di flusso dai dati equipotenziali. Se si desidera un reticolo di flusso completo una sezione trasformata è appropriata, ma se tutto ciò che è richiesto sono le direzioni di flusso in punti specifici, allora una costruzione grafica può essere di aiuto. Nella Figura 5.10 la linea tratteggiata rappresenta la direzione di una linea equipotenziale in corrispondenza di un punto di interesse all’interno di un campo xz. Successivamente si costruisce un’ellisse inversa di conducibilità idraulica attorno al punto. Questa ellisse ha i semiassi principali $1/\sqrt{K_x}$ e $1/\sqrt{K_z}$ (piuttosto che $\sqrt{K_x}$ e $\sqrt{K_z}$ , come in Figura 5.7). Una linea tracciata nella direzione del gradiente idraulico interseca l’ellisse nel punto A. Se una tangente viene disegnata sull’ellisse in A, la direzione del flusso è perpendicolare a questa linea tangente. Come esempio dell’applicazione di questa costruzione, si potrebbero confrontare i risultati della Figura 5.10 con le intersezioni della linea di flusso/linea equipotenziale nella parte centrale destra della Figura 5.9 (c).

**Figura 5.10** Determinazione della direzione di flusso in un dominio anisotropo con $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} = 5$ .

**Figura 5.10** Determinazione della direzione di flusso in un dominio anisotropo con $\sqrt{K_x}/\sqrt{K_z} = 5$ .

5.2 Reticoli di flusso attraverso la simulazione di modelli analogici

Per il flusso in un mezzo omogeneo e isotropo in un sistema di coordinate xz, le linee equipotenziali in un reticolo di flusso sono un riflesso della soluzione, h(x, z), del boundary value problem che descrive il flusso in regime stazionario in un dominio. La costruzione del reticolo di flusso è una soluzione indiretta all’equazione di Laplace:

$\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 h}{\partial z^2} = 0$ (5.18)

Questa equazione è una delle equazioni alle derivate parziali più ricorrenti nella fisica matematica. Tra gli altri fenomeni fisici che descrive c’è il flusso di calore attraverso i solidi e il flusso di corrente elettrica attraverso i mezzi conduttivi. Per quest’ultimo caso, l’equazione di Laplace assume la forma

$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0$ (5.19)

dove V è il potenziale elettrico o la tensione.

La similitudine delle Eqs. (5.18) e (5.19) indica un’analogia matematica e fisica tra il flusso elettrico e il flusso delle acque sotterranee. Le due equazioni sono entrambe sviluppate sulla base di una legge di flusso lineare, la legge di Darcy in un caso e la legge di Ohm nell’altro, e una relazione di continuità, la conservazione della massa fluida in un caso e la conservazione della carica elettrica nell’altro. Un confronto tra la legge di Ohm,

$l_x = -\sigma\frac{\partial V}{\partial x}$ (5.20)

e la legge di Darcy,

$v_x = -K\frac{\partial h}{\partial x}$ (5.21)

chiarisce l’analogia in una sola volta. La portata specifica, v_x (portata per unità di area), è analoga alla densità di corrente, I_x (corrente elettrica per unità di area); la conducibilità idraulica, K, è analoga alla conducibilità elettrica specifica, σ; e il carico idraulico, h, è analoga al potenziale elettrico, V.

La similitudine tra il flusso elettrico e il flusso delle acque sotterranee è la base per due tipi di modelli analogici che si sono dimostrati utili per la generazione di reticoli di flusso quantitativi. Il primo tipo prevede l’utilizzo di carta conduttiva e il secondo tipo utilizza reti di resistenza.

Modelli analogici della carta conduttiva

Consideriamo ancora il problema idraulico mostrato dapprima in Figura 5.8 e riprodotto in Figura 5.11 (a). L’analogo elettrico [Figura 5.11 (b)] consiste in un foglio di carta conduttiva tagliato nella stessa forma geometrica del campo di moto delle acque sotterranee. Un alimentatore viene utilizzato per generare una differenza di tensione attraverso i confini del dominio e viene utilizzata una sonda di rilevamento collegata al circuito tramite un voltmetro per misurare la distribuzione del potenziale lungo il foglio conduttivo. Le condizioni a carico costante, come il limite V = 100 in Figura 5.11 (b), sono creati con la vernice d’argento altamente conduttiva; i confini impermeabili sono simulati dai bordi non collegati del modello di carta. Di solito è possibile individuare le linee equipotenziali in modo abbastanza efficiente, così da generare rapidamente un reticolo equipotenziale completo.

Il metodo è limitato a sistemi omogenei e isotropi in due dimensioni, ma è in grado di gestire forme di domini e condizioni al contorno complessi. Le variazioni nella conduttività della carta disponibile in commercio possono portare a errori casuali che limitano l’accuratezza quantitativa del metodo. L’analisi teorica di Childs (1943) dei sistemi di flusso di superficie in aree drenate e le considerazioni di Tóth (1968) sui reticoli di flusso a scala regionale per un’area in Alberta rappresentano due tra le applicazioni più dettagliate del metodo.

**Figura 5.11** Reticoli di flusso mediante la simulazione analogica elettrica. (a) Boundary value problem in regime idrologico stazionario; (b) modello analogico della carta conduttiva; (c) modello analogico delle reti di resistenza.

Modelli analogici delle reti di resistenza

L’uso di una rete di resistenza come analogia elettrica si basa sugli stessi principi dell’analogia della carta conduttiva. Secondo questo approccio [Figura 5.11 (c)] il campo di flusso viene sostituito da una rete di resistori collegati tra loro in punti nodali di una griglia. Il flusso di elettricità attraverso ogni resistore è analogo al flusso di acqua sotterranea attraverso un tubo di flusso parallelo al resistore e con un’area della sezione trasversale riflessa dalla distanza tra i resistori per una profondità unitaria. Per il flusso elettrico attraverso un singolo resistore, l’I in Eq. (5.20) deve ora essere considerata come corrente, e σ è uguale a 1/R, dove R è la resistenza del resistore. Come nell’analogia della carta conduttiva, una differenza di potenziale è posta lungo i confini a carico costante del modello. Una sonda di rilevamento viene utilizzata per determinare il voltaggio in ciascuno dei punti nodali della rete e questi valori, quando registrati e interpolati, creano la rete equipotenziale.

Attraverso la variazione delle resistenze nella rete è possibile analizzare sistemi anisotropi ed eterogenei con l’analogia della rete di resistenza. Tali modelli hanno una precisione e una versatilità superiori ai modelli di carta conduttiva, ma non sono flessibili come i metodi numerici introdotti nella prossima sezione.

Karplus (1958) fornisce un manuale dettagliato per la simulazione analogica. I modelli analogici della rete di resistenza sono stati usati da Luthin (1953) per generare reticoli di flusso in applicazioni di drenaggio, e da Bouwer & Little (1959) per un sistema saturo-insaturo. Bouwer (1962) ha utilizzato l’approccio per analizzare la configurazione della superficie di risalita del livello di falda che si sviluppa al di sotto di bacini di ricarica.

L’uso più diffuso dei metodi di analogia elettrica nell’idrologia sotterranea è rappresentato da reti di resistenza-capacità per l’analisi del flusso transitorio negli acquiferi. Questa applicazione sarà discussa nella Sezione 8.9.

5.3 Simulazione numerica di reticoli di flusso

Il campo del carico idraulico, h(x, z) che consente la costruzione di un reticolo di flusso, può essere generato matematicamente dal pertinente boundary value problem in stato stazionario in due modi. Il primo approccio utilizza soluzioni analitiche come discusso nella Sezione 2.11 e nell’Appendice III; il secondo approccio utilizza metodi numerici di risoluzione. I metodi analitici sono limitati ai problemi di flusso in cui il dominio del flusso, le condizioni al contorno e la configurazione geologica sono semplici e regolari. Come vedremo in questa sezione, i metodi numerici sono molto più versatili, ma la loro applicazione è legata in modo inequivocabile all’uso di un computer.

I metodi numerici sono approssimati. Si basano sulla discretizzazione del mezzo che costituisce il dominio del flusso. Nella discretizzazione, il dominio è diviso in un numero finito di blocchi, ognuno con le proprie proprietà idrogeologiche e ciascuno con un nodo al centro al quale è assegnato un carico idraulico per l’intero blocco. La Figura 5.12 (a) mostra una griglia ai nodi di 7 × 5 centrata nel blocco (con i = 1 a i = 7 nella direzione x, e j = 1 a j = 5 nella direzione z) per un dominio di flusso rettangolare.

Esaminiamo ora il regime di flusso in prossimità di uno dei nodi interni, diciamo nel nodo, i = 4, j = 3 e i suoi quattro blocchi circostanti. Per semplificare la notazione, rinumereremo i nodi come indicato nella Figura 5.12 (b). Se il flusso si verifica dal nodo 1 al nodo 5, possiamo calcolare la portata, Q₁₅, dalla legge di Darcy:

$Q_{15} = K_{15}\frac{h_1 - h_5}{\Delta z}\Delta x$ (5.22)

per il flusso attraverso una sezione trasversale dalla profondità unitaria perpendicolare alla pagina. Assumendo che il flusso è diretto verso il nodo centrale in ciascun caso, possiamo scrivere espressioni simili per Q₂₅, Q₃₅ e Q₄₅. Per il flusso in regime stazionario, le considerazioni in merito alla conservazione della massa fluida stabiliscono che la somma di questi quattro flussi deve essere pari a zero. Se il mezzo è omogeneo e isotropo, K₁₅ = K₂₅ = K₃₅ = K₄₅ e se selezioniamo arbitrariamente una griglia nodale, che è quadrata in modo che Δx = Δz, la somma dei quattro termini porta a

$h_5 = \frac{1}{4}(h_1 + h_2 + h_3 + h_4)$ (5.23)

Questa equazione è conosciuta come equazione alle differenze finite. Se torniamo alla notazione ij della Figura 5.12 (a), diventa

$h_{i,j} = \frac{1}{4}(h_{i,j-1} + h_{i+1,j} + h_{i,j+1} + h_{i-1,j})$ (5.24)

**Figura 5.12** (a) Griglia nodale centrata nel blocco per la simulazione numerica del reticolo di flusso. (b) Nodo interno e blocchi nodali ad esso adiacenti. (c) Schema alle differenze finite per un nodo interno e per nodi sul limite basale impermeabile e per un angolo impermeabile.

In questa forma, l’Eq. (5.24) vale per tutti i nodi interni della griglia nodale. Con questa equazione si stabilisce elegantemente una semplice verità: in un flusso stazionario, in un mezzo omogeneo ed isotropo, il carico idraulico su qualsiasi nodo è la media dei quattro valori circostanti.

Un esercizio simile dimostrerà che l’equazione alle differenze finite per un nodo lungo il limite basale, assumendo che il confine sia impermeabile, assume la forma

$h_{i,j} = \frac{1}{4}(h_{i-1,j} + h_{i+1,j} + 2h_{i,j+1})$ (5.25)

e, al nodo all’angolo,

$h_{i,j} = \frac{1}{4}(2h_{i-1,j} + 2h_{i,j+1})$ (5.26)

Le equazioni da (5.24) a (5.26) sono schematicamente rappresentate, in modo palese, dalle tre rappresentazioni alle differenze finite della Figura 5.12 (c).

In breve, è possibile sviluppare un’equazione alle differenze finite per ciascun nodo della griglia. Se ci sono N nodi, ci sono N equazioni alle differenze finite. Esistono anche N incognite – gli N valori di h agli Nnodi. Abbiamo quindi prodotto N equazioni algebriche lineari con N incognite. Se N fosse molto piccolo, potremmo risolvere direttamente le equazioni, usando una tecnica come la regola di Cramer, ma quando N è grande, come accade sempre nella simulazione numerica del reticolo di flusso, dobbiamo introdurre un metodo più efficiente, noto come metodo del rilassamento.

Restiamo fedeli al problema del flusso della Figura 5.11 (a) e assumiamo che desideriamo sviluppare il suo reticolo con risorse numeriche. Nella griglia nodale di Figura 5.12 (a), i punti nodali ai quali è associato il carico idraulico sono cerchiati: h = 0 a i = 1, j = 3 e h = 100 a tutti i nodi nella riga j = 5. Il metodo del rilassamento comporta passaggi ripetuti attraverso la rete nodale, dall’alto verso il basso e da sinistra a destra (o in qualsiasi modo consistente), applicando le pertinenti equazioni alle differenze finite a ciascun nodo in cui il carico idraulico è incognito. Si deve assumere un valore h iniziale per ciascun nodo. Per il problema in questione, h = 50 potrebbe essere assegnato come valore iniziale a tutti i nodi non cerchiati. Nell’applicare le equazioni alle differenze finite, il valore h calcolato per ultimo viene sempre utilizzato in ogni nodo. Ogni passaggio attraverso il sistema viene chiamato iterazione, e dopo ogni iterazione i valori h calcolati si avvicinano al loro valore finale. La differenza di h tra due iterazioni successive su un nodo qualsiasi è detta residuo. Il residuo massimo nel sistema diminuirà con il procedere delle iterazioni. La soluzione è raggiunta quando il residuo massimo è stato ridotto al di sotto di una tolleranza prestabilita.

Per verificare la comprensione del metodo del rilassamento, il lettore potrebbe eseguire un paio di iterazioni nella parte in alto a sinistra della rete. Se il valore assegnato inizialmente al nodo, i = 2, j = 4, ad esempio, è 50, allora il valore dopo la prima iterazione è 62,5 e dopo la seconda è 64,0. Il valore finale, raggiunto dopo diverse iterazioni, si trova tra 65 e 66.

La simulazione numerica è in grado di gestire qualsiasi forma del dominio di flusso e qualsiasi distribuzione delle condizioni al contorno. È facile sviluppare le equazioni alle differenze finite per maglie rettangolari dove Δx ≠ Δz, e per distribuzioni di conducibilità idraulica eterogenee ed anisotrope dove i valori K_x e K_z variano da nodo a nodo. Nell’Eq. (5.22), la classica tecnica di calcolo della media imposterebbe K₁₅ = (K₁ + K₅)/2, dove K₁ e K₅, in questo caso si riferiscono alle conducibilità verticali ai nodi 1 e 5, e questi potrebbero differire l’uno dall’altro e dalla conducibilità orizzontale in questi nodi. La simulazione numerica consente la costruzione del reticolo di flusso in casi che sono troppo complessi per la costruzione grafica o la soluzione analitica. La simulazione numerica è quasi sempre programmata per il computer, e i programmi per computer sono generalmente scritti in forma generale in modo che siano necessari solo nuovi dati per gestire ampiamente diversi problemi di flusso. Questo è un netto vantaggio rispetto ai modelli analogici mediante le reti di resistenza, che richiedono una ricostruzione completa dell’hardware assemblato per effettuare una nuova simulazione.

Lo sviluppo delle equazioni alle differenze finite presentate in questa sezione è stato piuttosto informale. È possibile iniziare con l’equazione di Laplace e procedere, in maniera più matematica, verso lo stesso risultato. Nell’appendice VI, è presentato un breve svolgimento secondo questo approccio. Forse però vale la pena notare che lo sviluppo informale utilizza la legge di Darcy e la relazione di continuità per ottenere le espressioni delle differenze finite. Questi sono gli stessi due passaggi che hanno portato allo sviluppo dell’equazione di Laplace nella Sezione 2.11.

Il metodo che abbiamo chiamato di rilassamento (dopo Shaw & Southwell, 1941) ha diversi alias. È variamente conosciuto come il metodo di Gauss-Seidel, il metodo di Liebmann e il metodo degli spostamenti successivi. È il più semplice, ma tutt’altro che il più efficiente, tra i molti metodi disponibili per risolvere l’insieme di equazioni alle differenze finite. Ad esempio, se i carichi calcolati con il metodo del rilassamento vengono corretti in base a

$h_{corr}^k = \omega h^k + (1 - \omega)h_{corr}^{k-1}$ (5.27)

dove h^k è il carico idraulico calcolato alla iterazione k-esima e $h_{corr}^{k-1}$ è il carico idraulico corretto dalla iterazione precedente, allora il metodo è noto come sovrarilassamento (SOR, Successive Over-Relaxation) e il numero di iterazioni necessarie per raggiungere una soluzione a convergenza viene significativamente ridotto. Il parametro ω è noto come parametro di sovrarilassamentoe deve essere compreso nell’intervallo 1 ≤ ω ≤ 2.

Esistono molti testi che un modellista numerico può seguire. McCracken & Dorn (1964) forniscono un’introduzione elementare alle tecniche di simulazione al computer nel loro manuale Fortran. Forsythe & Wasow (1960) utilizzano un linguaggio matematico più avanzato. Remson et al. (1971) discutono un ampio spettro di tecniche numeriche con particolare riferimento alla circolazione idrica sotterranea. Pinder & Gray (1977) trattano il tema a un livello più avanzato.

I metodi numerici sono stati introdotti nella letteratura dell’idrologia sotterranea da Stallman (1956) in un’analisi dei livelli piezometrici a scala regionale. Fayers & Sheldon (1962) furono tra i primi fautori della simulazione numerica in condizioni stazionarie nello studio dell’idrogeologia regionale. Remson et al. (1965) utilizzarono il metodo per prevedere l’effetto di un bacino sui livelli piezometrici in un acquifero in arenarie. Freeze & Witherspoon (1966) hanno prodotto molteplici reticoli di flusso numerici nel loro studio teorico sulla circolazione idrica sotterranea a scala regionale. Il metodo fu ampiamente usato, molto tempo prima, nel campo del drenaggio agricolo (vedi Luthin & Gaskell, 1950) e nella derivazione dei percorsi di filtrazione nelle dighe in terra (Shaw & Southwell, 1941).

Negli ultimi anni, il metodo delle differenze finite è stato eguagliato, in popolarità, da un altro metodo numerico di soluzione, noto come metodo degli elementi finiti. Anche questo metodo porta ad un insieme di N equazioni con N incognite che possono essere risolte dal metodo del rilassamento, ma i nodi nel metodo degli elementi finiti sono i punti dell’angolo di una maglia irregolare triangolare o quadrilatera progettata dal modellista per ogni specifica applicazione, piuttosto che una maglia rettangolare regolare propria del metodo delle differenze finite. In molti casi, è sufficiente una rete nodale più piccola con un risparmio nel calcolo. Il metodo degli elementi finiti è anche in grado di risolvere una situazione che il metodo delle differenze finite non riesce a gestire. Il metodo delle differenze finite richiede che le direzioni principali dell’anisotropia in un mezzo anisotropo siano parallele alle direzioni delle coordinate. Se ci sono due formazioni anisotrope in un campo di flusso, ognuna con direzioni principali differenti, il metodo delle differenze finite si interrompe, laddove il metodo degli elementi finiti può fornire una soluzione. Lo sviluppo delle equazioni agli elementi finiti richiede una sofisticazione matematica che non è trattata in questo testo introduttivo. Maggiori dettagli sono forniti da Pinder & Gray (1977). I metodi numerici, sia alle differenze finite che agli elementi finiti, sono ampiamente usati come base per la simulazione al computer del flusso transitorio in falde acquifere. Questo aspetto è discusso nella Sezione 8.8.

5.4 Reticoli di flusso nel mezzo saturo e insaturo

C’è un’altra tipologia di reticolo di flusso che è estremamente difficile da ricostruire attraverso il metodo grafico. Per i problemi che coinvolgono il flusso sia nel mezzo saturo che nel mezzo insaturo, i reticoli di flusso in stato stazionario generalmente derivano da una simulazione numerica. Si consideri il reticolo di flusso illustrato in Figura 5.13. Esso è simile al problema che è stato ripetutamente analizzato nelle precedenti sezioni in quanto implica un flusso verso un dreno in un sistema con limiti impermeabili su tre lati, ma differisce per il fatto che la scala verticale è stata impostata in modo tale che il carico idraulico sul limite superiore fornisce un valore di altezza piezometrica inferiore a quella atmosferica. Ciò significa che il suolo è insaturo in superficie, benché nel momento in cui si ha un deflusso verso il recapito, esso diventa saturo in profondità. Il reticolo di flusso qualitativo nella Figura 5.13 è stato sviluppato per un suolo le cui curve caratteristiche insature sono quelle mostrate nei grafici.

**Figura 5.13** Reticolo di flusso nel mezzo saturo ed insaturo in un suolo omogeneo e isotropo. I due grafici a destra mostrano le curve caratteristiche per il suolo insaturo.

Queste curve di conducibilità idraulica, K e contenuto di umidità, θ in funzione di ψ, sono le curve di ritenzione capillare prese dalla Figura 2.13.

Come nel caso di un mezzo saturo-insaturo unidimensionale, che è stato schematicamente illustrato nella Figura 2.12, per un reticolo di flusso saturo-insaturo simulato numericamente in due dimensioni in condizioni stazionarie ci sono tre tipi di risultati. Innanzitutto c’è l’andamento del carico idraulico, h(x, z) che consente la costruzione della rete equipotenziale (linee tratteggiate in Figura 5.13). In secondo luogo, c’è l’andamento delle altezze piezometriche, ψ(x, z) (linee punteggiate in Figura 5.13), che è particolarmente importante nella definizione della posizione della superficie idrica (isobara con ψ = 0). Terzo, c’è l’andamento del contenuto di umidità, θ(x, z), che può essere determinato dalla funzione ψ(x, z) con l’aiuto della curva θ(ψ) per il suolo. Ad esempio, lungo la linea punteggiata ψ = -50 cm nella Figura 5.13, il contenuto di umidità, θ, è il 27%.

Le linee di flusso e le linee equipotenziali formano un reticolo continuo su tutto il dominio saturo-insaturo, intersecandosi ad angolo retto in tutto il sistema. Un reticolo di flusso quantitativo può essere tracciato con quadrati curvilinei nella porzione omogenea, isotropa e satura, ma tali tubi di flusso non rimarrebbero quadrati nel passaggio della zona insatura, anche in un suolo omogeneo e isotropo. Quando l’altezza piezometrica (e il contenuto di umidità) diminuiscono, anche la conducibilità idraulica diminuisce e per erogare la stessa portata attraverso un determinato tubo di flusso è necessario aumentare i gradienti idraulici. Questo fenomeno può essere osservato nei tubi di flusso nell’angolo in alto a sinistra del reticolo di flusso nella Figura 5.13, dove i gradienti idraulici aumentano verso la superficie.

Il concetto di un sistema di flusso saturo-insaturo integrato è stato introdotto nella letteratura idrologica da Luthin & Day (1955), i quali hanno utilizzato una simulazione numerica e una vasca sperimentale di filtrazione per dedurre l’andamento h(x, z). Bouwer & Little (1959) hanno utilizzato una rete di resistenze elettriche per analizzare problemi di drenaggio e di sub-irrigazione concettualmente simili a quelli mostrati nella Figura 5.13. I reticoli di flusso saturo-insaturo sono necessari per spiegare superfici idriche di falde sospese (Figura 2.15 e Figura 6.11) e per comprendere il regime idrogeologico lungo un pendio collinare e la relativa formazione del flusso idrico superficiale (Sezione 6.5). Reisenauer (1963) e Jeppson & Nelson (1970) hanno utilizzato la simulazione numerica per osservare il regime saturo-insaturo sotto bacini e canali. Le loro soluzioni si applicano all’analisi della ricarica artificiale delle acque sotterranee (Sezione 8.11). Freeze (1971b) ha preso in considerazione l’influenza della zona insatura nel caso della filtrazione nelle dighe in terra (Sezione 10.2).

5.5 Il fronte di infiltrazione e il flusso di Dupuit

Fronte di infiltrazione, Punto di uscita e Superficie libera

Se in prossimità di un confine a deflusso libero è presente un sistema di flusso saturo-insaturo, come un argine o il lato a valle di una diga in terra, si svilupperà un fronte di infiltrazione sul confine in uscita. Nella Figura 5.14 (a), BC è un confine a carico costante mentre DC è impermeabile. Se non c’è alcuna sorgente d’acqua in superficie, anche AB si comporterà come un limite impermeabile.

**Figura 5.14** Sviluppo di un fronte di infiltrazione su un limite di deflusso libero. (a) Reticolo di flusso saturo-insaturo; (b) reticolo di flusso a superficie libera; (c) reticolo di flusso Dupuit-Forchheimer.

La superficie idrica EF interseca il limite di uscita AD nel punto di uscita E. Quindi tutto il flusso deve lasciare il sistema attraverso il fronte di infiltrazione ED al di sotto del punto di uscita E. Sopra E, lungo la linea AE, l’altezza piezometrica nell’insaturo, ψ, è inferiore a quella atmosferica, quindi l’uscita verso l’atmosfera è impossibile. In effetti, AE agisce come un limite impermeabile. La condizione su ED è h = z, cioè la medesima che agisce sulla superficie idrica. Il problema nella preparazione di un reticolo di flusso per tali casi risiede nel fatto che la posizione del punto di uscita che separa le due condizioni al contorno sul limite dell’uscita, non è nota a priori. Nella simulazione numerica, è necessario fornire una previsione iniziale per la posizione del punto di uscita. Il corretto punto di uscita è poi determinato da una serie di soluzioni di tentativo in condizioni stazionarie.

La costruzione di un reticolo di flusso quantitativo in regime saturo-insaturo richiede la conoscenza sia della conducibilità idraulica del mezzo saturo, K, sia della curva caratteristica del mezzo insaturo, K(ψ) per il suolo. In molte applicazioni di ingegneria, compresa l’analisi della filtrazione attraverso dighe in terra, questi ultimi dati sono raramente disponibili. In tali casi, generalmente si assume che il flusso attraverso la parte insatura del sistema sia trascurabile, o visto in un altro modo, che la conducibilità idraulica del suolo, con contenuto di umidità inferiore alla saturazione, sia trascurabile rispetto alla conducibilità idraulica del mezzo saturo. In questo caso, il limite superiore del reticolo di flusso diventa la superficie idrica, e quindi la superficie idrica stessa diventa una linea di flusso. In queste circostanze speciali, questo limite superiore è definito superficie libera. I reticoli di flusso in sistemi saturi delimitati da una superficie libera possono essere costruiti nel solito modo, ma c’è una complicazione. La posizione dell’intera superficie libera (non solo il punto di uscita) è incognita a priori. Le condizioni al contorno su una superficie libera devono soddisfare sia quelle della superficie idrica h = z, sia quelle di una linea di flusso (le linee equipotenziali devono incontrarla ad angolo retto). La sua posizione è generalmente determinata graficamente per tentativi. I testi di ingegneria sulle infiltrazioni, come Harr (1962) o Cedergren (1967), forniscono suggerimenti sulla costruzione grafica e includono molti esempi di reticoli di flusso a superficie libera in condizioni stazionarie.

La Figura 5.14 (b) è il reticolo di flusso a superficie libera equivalente al reticolo di flusso saturo-insaturo mostrato nella Figura 5.14 (a). Un’occhiata ai due diagrammi conferma che la decisione di indicare la superficie idrica come linea di flusso è una buona approssimazione per questo particolare sistema di flusso. Il limite di deflusso ED è ancora noto come fronte di infiltrazione. Si discuteranno i fronti di infiltrazione in senso pratico quando sarà esaminata l’idrologia dei versanti (Sezione 6.5) e quando sarà trattata la filtrazione attraverso le dighe in terra (Sezione 10.2).

La teoria Dupuit-Forchheimer del flusso a superficie libera

Per il flusso in sistemi non confinati, delimitati da una superficie libera, viene spesso richiamato l’approccio pioneristico di Dupuit (1863) perfezionato da Forchheimer (1930). Tale approccio si basa su due assunzioni: (1) le linee di flusso sono considerate orizzontali e le linee equipotenziali verticali e (2) il gradiente idraulico è uguale alla pendenza della superficie libera e non varia con la profondità. La Figura 5.14 (c) mostra il reticolo di linee equipotenziali per lo stesso problema di Figura 5.14 (a), ma con le assunzioni di Dupuit in vigore. La costruzione rigorosa delle linee di flusso non è più possibile. Questa situazione paradossale identifica la teoria di Dupuit-Forchheimer per quello che è, e cioè un’approssimazione empirica del sistema di flusso reale. In effetti, la teoria trascura le componenti verticali del flusso. In pratica, il suo valore sta nel ridurre il sistema bidimensionale ad una dimensione ai fini dell’analisi. I calcoli basati sulle assunzioni di Dupuit sono in accordo con quelli basati su metodi più rigorosi quando la pendenza della superficie libera è piccola e quando la profondità del campo di flusso non confinato è bassa. La portata Q attraverso una sezione trasversale di larghezza unitaria perpendicolare alla pagina nella Figura 5.14 (c) è data da

$Q = Kh(x)\frac{dh}{dx}$ (5.28)

dove h(x) è la altezza della superficie libera al di sopra della base del sistema in x, e il gradiente dh/dx è dato dalla pendenza della superficie libera Δh/Δx in x. Per il flusso in condizioni stazionarie, Q deve essere costante attraverso il sistema e questo può essere valido solo se la superficie libera è una parabola.

L’equazione del flusso secondo la teoria di Dupuit-Forchheimer in un mezzo omogeneo ed isotropo può essere sviluppata dalla relazione di continuità, dQ/dx = 0. Dall’Eq. (5.28), questo porta a

$\frac{d^2(h^2)}{dx^2} = 0$ (5.29)

Se un campo di flusso non confinato tridimensionale viene ridotto ad un campo di flusso bidimensionale sul piano orizzontale xy richiamando la teoria di Dupuit-Forchheimer, l’equazione del flusso in un mezzo omogeneo ed isotropo diventa

$\frac{\partial^2(h^2)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2(h^2)}{\partial y^2} = 0$ (5.30)

In altre parole, h² piuttosto che h deve soddisfare l’equazione di Laplace. È possibile impostare il boundary value problem in stato stazionario in base all’Eq. (5.30) e risolvere per h(x, y) in campi di flusso superficiali, orizzontali mediante simulazione analogica o numerica. È anche possibile sviluppare un’equazione transitoria del flusso per il flusso a superficie libera di Dupuit in acquiferi non confinati in cui h² sostituisce h nella parte sinistra dell’Eq. (2.77).

Harr (1962) discute in dettaglio gli aspetti pratici della teoria di Dupuit-Forchheimer. Bear (1972) include un trattamento teorico molto lungo. Kirkham (1967) esamina i paradossi nella teoria e fornisce alcune spiegazioni rivelatrici. L’approccio è ampiamente utilizzato nelle applicazioni di ingegneria.

Letture consigliate

CEDERGREN, H. R. 1967. Seepage, Drainage and Flow Nets. Chapter 4: Flow Net Construction, John Wiley & Sons, New York, pp. 148-169.

HARR, M. E. 1962. Groundwater and Seepage. Chapter 2: Application of the Dupuit Theory of Unconfined Flow, McGraw-Hill, New York, pp. 40-61.

KIRKHAM, D. 1967. Explanation of paradoxes in Dupuit-Forchheimer seepage theory. Water Resources Res., 3, pp. 609-622.

PRICKETT, T. A. 1975. Modeling techniques for groundwater evaluation. Adv. Hydrosci., 10, pp. 42-45, 66-75.

REMSON, I., G. M. HORNBERGER, and F. J. MOLZ. 1971. Numerical Methods in Subsurface Hydrology. Chapter 4: Finite-Difference Methods Applied to Steady-Flow Problems, Wiley Interscience, New York, pp. 123-156.

Problemi

Si consideri una sezione trasversale verticale ABCDA satura, omogenea, isotropa, rettangolare, con il confine superiore AB, limite basale DC, limite sinistro AD e limite destro BC. La distanza DC è due volte quella di AD. Disegnare un accurato reticolo di flusso quantitativo per ciascuno dei seguenti casi:
1. I confini BC e DC sono impermeabili. AB è un confine a carico costante con h = 100 m. AD è diviso in due parti di uguale lunghezza di cui la parte superiore è impermeabile e la parte inferiore è un carico costante con h = 40 m.
2. I confini AD e BC sono impermeabili, mentre AB è un limite a carico costante con h = 100 m. Il limite DC è diviso in tre parti di uguale lunghezza con le porzioni di sinistra e di destra impermeabili e la porzione centrale con un carico costante pari a h = 40 m.

Trasformare la sezione trasversale verticale ABCDA del Problema 1 in trapezoidale alzando B verticalmente in modo che le altezze dei punti D e C siano 0 m, A sia 100 m, e B sia 130 m. Considerare i limiti AD, DC e BC impermeabili e che AB rappresenti la superficie idrica di pendenza costante (sulla quale il carico idraulico corrisponde all’altezza).
1. Disegnare un accurato reticolo di flusso quantitativo per questo caso. Etichettare le linee equipotenziali con il loro corretto valore di h.
2. Se la conducibilità idraulica del dominio è di 10^-4 m/s, calcolare il flusso totale attraverso il sistema in m³/s (per metro di spessore perpendicolare alla sezione).
3. Usare la legge di Darcy per calcolare la velocità in ingresso o in uscita del flusso in ogni punto in cui una linea di flusso interseca il limite superiore.

1. Ripetere i Problemi 2 (a) e 2 (b) per il caso omogeneo anisotropo in cui la conducibilità idraulica orizzontale è di 10^-4 m/s e la conducibilità idraulica verticale è di 10^-5 m/s.
2. Disegnare l’ellisse di conducibilità idraulica per la formazione omogenea e anisotropa nella parte (a). Mostrare, mediante costruzioni adeguate sull’ellisse, che la relazione tra la direzione del flusso e la direzione del gradiente idraulico indicata dal reticolo di flusso sia corretta in due punti sul reticolo di flusso.

Ripetere il Problema 2 (a) per il caso in cui un dreno a deflusso libero (i.e., a pressione atmosferica) si trova nel punto intermedio di BC. Il dreno è orientato perpendicolarmente al piano del reticolo di flusso.

1. Ripetere i Problemi 1 (a), 1 (b) e 2 (a) per il caso a due strati in cui la metà inferiore del campo di flusso ha un valore di conducibilità idraulica 5 volte maggiore di quello della metà superiore.
2. Ripetere il Problema 1 (b) per il caso a due strati in cui la metà superiore del campo ha un valore di conducibilità idraulica 5 volte maggiore di quello della metà inferiore.

Disegnare un piezometro che ha la base vicina al centro del campo di flusso in ognuno dei reticoli di flusso costruiti nei Problemi 2, 3, 4 e 5, e mostrare i livelli piezometrici che si ritroverebbero nei piezometri in base ai reticoli di flusso disegnati.

1. Ridisegnare il reticolo di flusso in Figura 5.3 per una diga che ha una base di ampiezza pari a 150 m, sovrapposta ad uno strato di spessore pari a 120 m. Impostare h₁ = 150 m e h₂ = 125 m.
2. Ripetere il Problema 7 (a) per il caso a due strati in cui lo strato superiore di 60 m è 10 volte meno permeabile dello strato inferiore di 60 m.

Considerare due piezometri ad una distanza di 500 m, con la base ad una profondità di 100 m e 120 m in un acquifero non confinato. Il livello piezometrico è 170 m al di sopra dell’impermeabile orizzontale basale per il piezometro più superficiale e 150 m nel piezometro più profondo. Utilizzare le assunzioni di Dupuit-Forchheimer per calcolare la altezza della superficie idrica a metà strada tra i due piezometri, e per calcolare la portata dell’infiltrazione attraverso una sezione di spessore pari a 10 m e K = 10^-3 m/s.

Disegnare reticoli di flusso su un piano orizzontale attraverso un acquifero confinato orizzontale:
1. Per il flusso attraverso un solo pozzo in emungimento in condizioni stazionarie (i.e., un pozzo in cui il livello piezometrico resta costante).
2. Per due pozzi in emungimento in condizioni stazionarie aventi la stessa portata in emungimento (i.e., i pozzi hanno lo stesso carico idraulico).
3. Per un pozzo vicino ad un limite lineare e a carico costante.

Freeze and Cherry Groundwater Book

Capitolo 5: Reticolo di flusso